ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 118: Первый признак равенства треугольников

План решения:

• Для пункта а) докажем равенство треугольников △MNO и △PQO, используя признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе (или через равенство отрезков).
• Из равенства треугольников выведем равенство соответствующих сторон MO=PO, что позволит рассмотреть равнобедренный треугольник △MOP.
• Для пункта б) используем свойства углов при пересечении прямых и сумму углов в треугольнике или на прямой.

Решение пункта а): Доказательство равенства углов ∠OMP и ∠OPM

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: △MNO и △PQO.
1. По условию задачи MN⊥b и PQ⊥b, значит, ∠MNO=90^° и ∠PQO=90^°.
2. По условию дано, что перпендикуляры равны: MN=PQ.
3. Точка O является серединой отрезка NQ, следовательно, NO=OQ.
4. Таким образом, прямоугольные треугольники △MNO и △PQO равны по двум катетам (MN=PQ и NO=OQ).
5. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности гипотенуз: MO=PO.

Теперь рассмотрим треугольник △MOP. Так как мы доказали, что MO=PO, то этот треугольник является равнобедренным с основанием MP.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ∠OMP=∠OPM. Что и требовалось доказать.

Решение пункта б): Нахождение угла ∠NOM

Нам дано, что ∠MOP=105^°. Нужно найти ∠NOM.
Заметим, что точки N,O,Q лежат на одной прямой b. Углы ∠MON и ∠MOQ являются смежными? Нет, это не так просто, так как M и P находятся по одну сторону от прямой.
Давайте посмотрим на расположение лучей. Прямая b содержит точки N,O,Q. Лучи OM и OP выходят из точки O в полуплоскость, где находятся точки M и P.
Угол ∠MOP образован лучами OM и OP.
Так как △MNO=△PQO, то соответствующие острые углы при вершине O также равны: ∠MON=∠POQ. Обозначим эти углы через x.
Лучи ON и OQ противоположны друг другу (так как O лежит между N и Q на прямой b). Значит, угол ∠NOQ развернутый и равен 180^°.
Однако нам нужно связать ∠MOP с искомым углом. Рассмотрим углы вокруг точки O в верхней полуплоскости.
Сумма углов ∠MON+∠MOP+∠POQ не обязательно равна 180^°, если лучи OM и OP не лежат внутри угла NOQ каким-то специфическим образом. Но давайте посмотрим внимательнее.
Точки N и Q лежат на прямой. O — середина NQ.
∠MON — это угол между перпендикуляром MN (проекция на прямую) и отрезком MO. В прямоугольном △MNO угол ∠MON острый.
Аналогично для △PQO, угол ∠POQ острый.
Так как M и P по одну сторону от прямой, то лучи OM и OP лежат в одной полуплоскости относительно прямой b.
Угол ∠MOP находится «между» лучами OM и OP.
Рассмотрим развёрнутый угол ∠NOQ=180^°. Он состоит из трёх частей: ∠NOM, ∠MOP и ∠POQ?
Это верно только если луч OM и луч OP расположены так, что они не пересекаются и заполняют пространство между ON и OQ. Поскольку M и P произвольные точки (при условии равенства высот), но обычно в таких задачах подразумевается стандартное расположение, когда проекции N и Q ограничивают основание.
Проверим: ∠NOM+∠MOP+∠POQ=180^°.
Мы знаем, что ∠NOM=∠POQ=x (из равенства треугольников).
Подставим известные значения:
x+105^°+x=180^°
2x+105^°=180^°
2x=180^°-105^°
2x=75^°
x=37.5^°
Искомый угол ∠NOM равен x, то есть 37.5^°.

Проверка:
Если ∠NOM=37.5^°, то в прямоугольном △MNO угол ∠NMO=90^°-37.5^°=52.5^°.
Аналогично ∠POQ=37.5^°.
Сумма углов на прямой b: 37.5^°+105^°+37.5^°=180^°. Всё сходится.