ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 169: Примеры задач на построение

План решения.

Чтобы доказать, что треугольник DEF равносторонний, необходимо показать равенство его трёх сторон: DE=EF=FD. Для этого мы рассмотрим три треугольника, образованные вершинами исходного треугольника и точками деления: △ADF, △BED и △CFE. Докажем их попарное равенство по двум сторонам и углу между ними. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих им сторон DF, ED и FE, которые являются сторонами искомого треугольника DEF.

Вычисление и доказательство.

1. По условию треугольник ABC является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: AB=BC=CA и все углы равны 60^°: ∠A=∠B=∠C=60^°.

2. На сторонах отложены равные отрезки: AD=BE=CF.

3. Найдём длины оставшихся частей сторон. Так как D лежит на AC, то CD=AC-AD. Аналогично, AE=AB-BE и BF=BC-CF. Поскольку AC=AB=BC и AD=BE=CF, то разности также равны: CD=AE=BF.

4. Рассмотрим треугольники △ADF, △BED и △CFE:

• В △ADF и △BED:
  AD=BE (по условию);
  AF=CD? Нет, давайте внимательно посмотрим на расположение точек.
  Уточним расстановку точек для корректного доказательства через конгруэнтность смежных треугольников у вершин.

Пересмотрим выбор треугольников для сравнения. Нам нужно связать стороны DE,EF,FD с элементами исходного треугольника. Рассмотрим △ADE, △BEF и △CFD? Нет, точки D,E,F лежат на сторонах AC,AB,BC соответственно? В условии сказано «на сторонах... отложены», но не указано, на каких именно. Обычно в таких задачах подразумевается циклический порядок или симметрия. Допустим стандартную конфигурацию: D∈AC, E∈AB, F∈BC. Тогда: AD — часть AC? Давайте переформулируем строго по тексту: «На сторонах ... отложены равные отрезки AD,BE,CF». Это означает, что точка D находится на стороне, начинающейся из A (или содержащей A), точка E — на стороне из B, точка F — на стороне из C. Чаще всего это значит D∈AB или D∈AC. Если AD отложено от вершины A, то D лежит на одной из прилегающих сторон. Пусть D∈AC, E∈AB, F∈BC. Тогда AD — отрезок на AC, BE — на AB, CF — на BC. Тогда: AD=x, BE=x, CF=x. Стороны △ABC равны a. CD=a-x, AE=a-x, BF=a-x. Рассмотрим △ADE? Нет, D на AC, E на AB. Треугольник ADE имеет угол A=60^°, стороны AD=x,AE=a-x. Сторона DE против угла A. Рассмотрим △BEF? E на AB, F на BC. Угол B=60^°. Стороны BE=x,BF=a-x. Сторона EF против угла B. Рассмотрим △CFD? F на BC, D на AC. Угол C=60^°. Стороны CF=x,CD=a-x. Сторона FD против угла C. Таким образом, мы сравниваем △ADE, △BEF и △CFD. В этих треугольниках: 1) AD=BE=CF=x (по условию); 2) AE=BF=CD=a-x (так как AB=BC=CA=a и отложенные части равны); 3) ∠A=∠B=∠C=60^° (углы равностороннего треугольника). По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) эти треугольники равны: △ADE=△BEF=△CFD. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих третьих сторон: DE=EF=FD.

Проверка.

Если все три стороны треугольника DEF равны (DE=EF=FD), то по определению он является равносторонним. Логика построена верно: мы использовали свойства равностороннего треугольника ABC (равенство сторон и углов) и условие равенства отложенных отрезков для доказательства конгруэнтности трёх вспомогательных треугольников, опирающихся на углы A,B,C. Результат подтверждает требуемое утверждение.