ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 171: Примеры задач на построение

План решения.

Для доказательства того, что точка O является серединой отрезка MN, нам необходимо показать равенство длин отрезков MO и ON. Мы воспользуемся признаками равенства треугольников. Сначала докажем равенство треугольников AOC и BOD, чтобы установить связь между сторонами AC и BD. Затем рассмотрим треугольники AMO и BNO (или аналогичные пары, в зависимости от выбранного пути), используя свойства середин и вертикальных углов.

Ход вычислений и доказательств.

1. Рассмотрим треугольники △AOC и △BOD. По условию задачи отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Это означает, что: AO=OB CO=OD Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, следовательно, они равны: ∠AOC=∠BOD По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) получаем: △AOC=△BOD Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: AC=BD ∠CAO=∠DBO (или ∠OAC=∠OBD)

2. Теперь перейдем к точкам M и N. Точка M — середина отрезка AC, значит: AM=MC=1/2AC Точка N — середина отрезка BD, значит: BN=ND=1/2BD Так как мы установили, что AC=BD, то и половины этих отрезков равны: AM=BN

3. Рассмотрим треугольники △AMO и △BNO. В этих треугольниках есть следующие равные элементы: - Сторона AO=BO (так как O — середина AB); - Сторона AM=BN (доказано выше); - Угол ∠MAO=∠NBO (так как это те же самые углы ∠CAO и ∠DBO, которые равны из пункта 1). По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) получаем: △AMO=△BNO

4. Из равенства треугольников △AMO и △BNO следует равенство соответствующих сторон: MO=NO Поскольку точки M,O,N лежат на одной прямой? Нет, это нужно проверить или доказать через векторы/координаты, либо заметить, что задача требует доказать именно равенство длин при условии, что O лежит на MN. Однако, обычно в таких геометрических задачах на 7-9 класс подразумевается доказательство равенства отрезков MO и ON как частей одного отрезка MN, проходящего через O. Строго говоря, чтобы утверждать, что O — середина MN, нужно также доказать, что M,O,N коллинеарны. Давайте проверим коллинеарность. Из равенства △AOC=△BOD следует, что четырехугольник ADBC является параллелограммом (диагонали делятся пополам). Тогда AC∥BD. Отрезок MN, соединяющий середины противоположных сторон AC и BD... подождите, AC и BD не стороны одного четырехугольника в привычном смысле, если смотреть на ADBC. Проще использовать векторный метод или координатный для строгого доказательства коллинеарности, но в школьном курсе геометрии часто достаточно доказать MO=ON и опираться на симметрию относительно центра O. Центрально-симметричное отображение относительно точки O переводит A в B, C в D. Следовательно, оно переводит отрезок AC в отрезок BD. Середина M отрезка AC переходит в середину N отрезка BD. При центральной симметрии любая точка и её образ связаны центром симметрии так, что центр является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Значит, O — середина MN.

Проверка результата.

Логика построена верно: использование свойств вертикальных углов и диагоналей, делящихся пополам, позволяет установить равенство элементов. Переход к треугольникам AMO и BNO корректен. Аргументация через центральную симметрию подтверждает не только равенство длин MO=ON, но и тот факт, что точки M,O,N лежат на одной прямой, что и требуется для определения середины отрезка.