ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 172: Примеры задач на построение

План решения.

Чтобы доказать, что треугольник DEF равносторонний, нам нужно показать равенство его сторон: DE=EF=FD. Для этого рассмотрим три треугольника, которые образуются при продолжении сторон исходного треугольника ABC: △ADF, △BED и △CFE. Мы докажем их попарное равенство (конгруэнтность) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть сторон искомого треугольника DEF.

Вычисление и доказательство.

1. Так как треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны: AB=BC=CA. Также все его углы равны 60^°: ∠BAC=∠ABC=∠BCA=60^°. 2. По условию задачи отрезки, на которые продолжены стороны, равны: AD=CE=BF. Обозначим эту длину через x. 3. Рассмотрим угол ∠DAF. Он является смежным с углом ∠BAC треугольника ABC. Поскольку сумма смежных углов равна 180^°, то: ∠DAF=180^°-∠BAC=180^°-60^°=120^° Аналогично находим другие внешние углы при вершинах треугольника ABC: ∠EBD=180^°-∠ABC=180^°-60^°=120^° ∠FCE=180^°-∠BCA=180^°-60^°=120^° Таким образом, ∠DAF=∠EBD=∠FCE=120^°. 4. Теперь сравним стороны треугольников △ADF, △BED и △CFE. - В △ADF: сторона AD=x (по условию), сторона AF=AB+BF. Так как AB — сторона равностороннего треугольника, а BF=x, то AF=AB+x. - В △BED: сторона BE=BC+CE. Так как BC=AB (стороны равностороннего треугольника) и CE=x, то BE=AB+x. Сторона BD=BC+CD? Нет, посмотрим внимательно на рисунок и условие. Обычно в таких задачах точки расположены так: D лежит на продолжении CA за точку A, E на продолжении AB за точку B, F на продолжении BC за точку C? Или иначе? Давайте уточним стандартную конфигурацию для задачи «Стороны продолжены на равные отрезки». Пусть D лежит на луче BA за точкой A? Нет, обычно D на продолжении AC? Перечитаем условие: «Стороны ... продолжены ... на равные отрезки AD, CE, BF». Это означает, что точка D присоединена к стороне, заканчивающейся в A? Или начинается? Стандартная интерпретация: На прямой AC за точкой A отложен отрезок AD. На прямой BA за точкой B отложен отрезок BE? Нет, в условии сказано CE и BF. Значит, E относится к C, F к B. Вероятнее всего, порядок такой: - Точка D лежит на продолжении стороны CA за точку A. Тогда CD=CA+AD. - Точка E лежит на продолжении стороны AB за точку B? Но отрезок называется CE. Это странно. Если E на продолжении AB, то отрезок должен быть связан с B или A. Давайте предположим циклический сдвиг: A→B→C→A. Отрезок AD приложен к вершине A. Отрезок CE приложен к вершине C? Нет, буква E вторая. Отрезок BF приложен к вершине B? Буква F вторая. Скорее всего, имеется в виду следующее расположение точек на прямых, содержащих стороны: 1. Точка D лежит на продолжении стороны AC за точку A. Тогда AD — добавленный отрезок. 2. Точка E лежит на продолжении стороны BA за точку B? Нет, тогда отрезок был бы BE. У нас CE. Значит, E лежит на продолжении стороны CB за точку C? Тогда CE — добавленный отрезок. 3. Точка F лежит на продолжении стороны AC? Нет, уже занято. Скорее всего, F лежит на продолжении стороны AB за точку A? Тогда AF? Нет, у нас BF. Значит, F лежит на продолжении стороны AB за точку B? Тогда BF — добавленный отрезок. Проверим согласованность: - D на продолжении CA за A. (AD=x) - E на продолжении BC за C. (CE=x) - F на продолжении AB за B. (BF=x) Теперь рассмотрим треугольники, образованные новыми вершинами D,E,F и старыми вершинами A,B,C. Нам нужно найти стороны DE,EF,FD. Рассмотрим △FAD? Нет, точки F,A,D не образуют простой треугольник с известными элементами напрямую без промежуточных шагов. Лучше рассмотреть треугольники, «отсекающие» углы исходного треугольника. Посмотрим на △DBE? Нет. Посмотрим на △ADF? Вершины: A,D,F. Сторона AD=x. Сторона AF? Точка F лежит на продолжении AB за B. Значит, A,B,F лежат на одной прямой в таком порядке. Длина AF=AB+BF=AB+x. Угол ∠DAF? Точка D лежит на продолжении CA за A. Значит, C,A,D лежат на одной прямой. Угол ∠DAF — это угол между лучом AD и лучом AF (который совпадает с лучом AB). Угол ∠CAB=60^°. Луч AD противоположен лучу AC. Следовательно, угол ∠DAB (он же ∠DAF) смежный с ∠CAB. ∠DAF=180^°-60^°=120^°. Итак, в △ADF известны две стороны и угол между ними: AD=x, AF=AB+x, ∠DAF=120^°. По теореме косинусов можно найти DF, но нам достаточно доказательства равенства треугольников. Теперь рассмотрим △BED? Нет, давайте найдем аналогичный треугольник для другой стороны. Рассмотрим △CFE? Нет, посмотрим на △EBD? Точки: E,B,D? Нет, лучше смотреть на «угловые» треугольники вокруг исходного. Давайте систематизируем три треугольника, которые мы будем сравнивать: 1. △ADF (вершины A,D,F). AD=x. AF=AB+BF=a+x (где a — сторона ABC). ∠DAF=120^°. 2. △BED? Проверим расположение. Точка E на продолжении BC за C. Точка D на продолжении CA за A. Точка B — вершина. Рассмотрим △BDE? Нет, удобнее взять треугольник, включающий сторону EF или DE. Сторона DE соединяет D и E. Она является стороной треугольника △CDE? Нет, C,D,E не коллинеарны. Рассмотрим △EAD? Нет. Рассмотрим △DBE? Нет. Давайте возьмем треугольник △EBD? Нет, точка E далеко от B. Возьмем треугольник △EDC? Нет. Возьмем треугольник △EAD? Нет. Правильный подход: рассмотреть треугольники, образованные одной новой вершиной, одной старой вершиной и еще одной новой/старой. Нам нужны стороны DE,EF,FD. FD — сторона △ADF (доказано выше). DE — сторона какого треугольника? Точки D и E. Ближайшая общая вершина исходного треугольника — C? Нет, D связано с A/C, E с B/C. Общая вершина C. Рассмотрим △CDE? Нет, D лежит на прямой AC, E на прямой BC. Треугольник △CDE имеет вершину C. Сторона CD? Точка D на продолжении CA за A. Значит, C-A-D. Длина CD=CA+AD=a+x. Сторона CE? По условию CE=x. Угол ∠DCE? Это угол ∠ACB исходного треугольника, так как D лежит на луче CA (продолжение за A значит, что вектор CD сонаправлен с CA? Нет. C→A→D. Вектор CD направлен из C через A. Вектор CE направлен из C через... куда? E на продолжении BC за C? Если E на продолжении BC за C, то порядок B-C-E. Тогда вектор CE противоположен вектору CB. А вектор CD сонаправлен с CA. Угол между CA и CB равен 60^°. Значит, угол между CD и CE равен 180^°-60^°=120^°. Итак, в △CDE: CD=a+x, CE=x, ∠DCE=120^°. Сравним с △ADF: AF=a+x, AD=x, ∠DAF=120^°. Треугольники △ADF и △CED равны по первому признаку (две стороны и угол между ними): AD=CE=x AF=CD=a+x ∠DAF=∠ECD=120^° Следовательно, третьи стороны равны: DF=ED. 3. Осталось проверить третью пару. Нам нужно равенство ED=FE или FE=DF. Рассмотрим △BEF? Точки B,E,F. F на продолжении AB за B (A-B-F). Значит, BF=x. E на продолжении BC за C (B-C-E). Значит, BE=BC+CE=a+x. Угол ∠FBE? Луч BF противоположен лучу BA? Нет, A-B-F, значит луч BF сонаправлен с продолжением AB. Луч BE сонаправлен с BC. Угол между AB и BC равен 60^° (внутренний). Угол ∠ABC=60^°. Смежный ему угол ∠CBF? Нет, нас интересует угол внутри △BEF, то есть ∠FBE. Точки A,B,F на одной прямой. Точки B,C,E на одной прямой. Угол ∠FBE вертикальный с углом ∠ABC? Нет. F лежит на луче, противоположному BA? Нет, A-B-F. Значит, вектор BF сонаправлен с вектором AB? Нет, A→B→F. Вектор BF сонаправлен с вектором AB. Вектор BE сонаправлен с вектором BC. Угол между AB и BC? Это внешний угол при вершине B? Нет, угол ∠ABC — внутренний. Векторы BA и BC образуют 60^°. Векторы BF (противоположный BA) и BE (сонаправленный BC)? Подождите. A-B-F. Значит, луч BF противоположен лучу BA. B-C-E. Значит, луч BE сонаправлен с лучом BC. Угол между лучом BA и лучом BC равен 60^°. Значит, угол между противоположным ему лучом BF и лучом BE равен 180^°-60^°=120^°. Итак, в △BEF: BF=x, BE=a+x, ∠FBE=120^°. Сравним с предыдущими треугольниками (△ADF и △CED). В △ADF: стороны x и a+x, угол 120^°. В △BEF: стороны x и a+x, угол 120^°. Следовательно, △BEF≅△ADF. Отсюда следует равенство третьих сторон: EF=DF. Таким образом, мы получили цепочку равенств: DF=ED (из △ADF≅△CED) и EF=DF (из △BEF≅△ADF). Следовательно, DE=EF=FD. Треугольник DEF является равносторонним.

Проверка.

Логика построения симметрична относительно центра треугольника ABC. При повороте на 120^° вокруг центра равностороннего треугольника ABC вершина A переходит в B, B в C, C в A. Отрезки AD,BF,CE также переходят друг в друга благодаря условию их равенства и одинаковому направлению продолжения сторон. Следовательно, вся конструкция треугольника DEF инвариантна относительно такого поворота, что возможно только если сам треугольник DEF является равносторонним. Доказательство корректно.