ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 176: Примеры задач на построение

План решения.

Для доказательства равенства треугольников ABO и CDO нам потребуется сначала установить равенство более крупных треугольников ABC и ADC. Это позволит найти недостающие элементы (углы или стороны) для малых треугольников. Будем действовать последовательно: сначала докажем равенство △ABC=△ADC, а затем利用 полученные данные для доказательства равенства △ABO=△CDO.

Ход вычислений и доказательств.

1. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. По условию задачи известно, что сторона BC равна стороне AD (BC=AD). Также у этих треугольников есть общая сторона AC. Из условия дано, что ∠OAC=∠OCA. Поскольку точка O лежит на пересечении сторон BC и AD, то углы ∠OAC и ∠OCA являются частью углов при основании AC в треугольниках ADC и ABC соответственно. Более точно: ∠DAC=∠OAC и ∠BCA=∠OCA. Следовательно, ∠DAC=∠BCA.

2. Теперь применим признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (I признак). В треугольниках ABC и ADC:

• BC=AD (по условию);
• AC=CA (общая сторона);
• ∠BCA=∠DAC (так как ∠OCA=∠OAC).

Следовательно, △ABC=△ADC.

3. Из равенства треугольников ABC и ADC следует равенство соответствующих элементов. В частности, ∠BAC=∠DCA и AB=CD.

4. Теперь перейдем к доказательству равенства треугольников ABO и CDO. Рассмотрим эти треугольники:

• ∠AOB=∠COD (вертикальные углы при пересечении прямых BC и AD);
• ∠BAO=∠DCO. Заметим, что ∠BAO — это часть угла ∠BAC, а ∠DCO — часть угла ∠DCA. Однако проще использовать другой подход. Мы знаем, что △ABC=△ADC, значит AB=CD. Также из равенства треугольников следует ∠B=∠D.

Давайте проверим признаки для △ABO и △CDO. У нас есть: 1) ∠AOB=∠COD (вертикальные); 2) ∠B=∠D (соответственные углы равных треугольников ABC и ADC); 3) AB=CD (соответственные стороны равных треугольников ABC и ADC). По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (или по стороне и противолежащему углу, если использовать сумму углов), треугольники равны. Конкретнее, используя II признак (по стороне и двум прилежащим углам): В △ABO и △CDO: - Сторона AB=CD. - Угол ∠B=∠D. - Угол ∠BAO? Не совсем удобно. Лучше использовать III признак (по стороне и двум прилежащим углам) через другие пары. Или проще: так как △ABC=△ADC, то ∠BAC=∠DCA. Но нам нужны углы внутри маленьких треугольников. Рассмотрим △ABO и △CDO: - ∠AOB=∠COD (вертикальные). - AB=CD (из равенства больших треугольников). - ∠B=∠D (из равенства больших треугольников). Этого достаточно для доказательства равенства по второму признаку (сторона и два прилежащих угла не подходят напрямую, так как угол B прилежит к стороне AB, а угол D к CD, но вертикальные углы не прилежат к этим сторонам напрямую в одной конфигурации «угол-сторона-угол» относительно известной стороны). Однако, зная два угла треугольника, мы можем найти третий. В △ABO: ∠BAO=180^°-∠B-∠AOB. В △CDO: ∠DCO=180^°-∠D-∠COD. Так как ∠B=∠D и ∠AOB=∠COD, то ∠BAO=∠DCO. Теперь имеем: - ∠BAO=∠DCO; - AB=CD; - ∠B=∠D. Это соответствует второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Следовательно, △ABO=△CDO.

Проверка.

Логическая цепочка верна: из данных о равенстве боковых сторон и равенстве углов при общей стороне следует равенство больших треугольников. Из равенства больших треугольников следуют равенства соответствующих сторон (AB=CD) и углов (∠B=∠D). Вертикальные углы при пересечении диагоналей (или пересекающихся сторон) равны. Комбинация этих фактов позволяет применить любой из признаков равенства треугольников для малых фигур. Ответ подтверждается указанием учебника.