ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 179: Примеры задач на построение

Для доказательства равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ воспользуемся методом наложения. Нам дано: ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁ и сторона BC=B₁C₁. Это соответствует второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), но так как в условии даны два угла и сторона, не обязательно прилежащая к обоим (в данном случае BC лежит против угла A, а B₁C₁ против A₁), нужно аккуратно обосновать совпадение всех элементов.

Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина B совместилась с вершиной B₁, а сторона BC легла на сторону B₁C₁. Поскольку по условию BC=B₁C₁, то точка C также совместится с точкой C₁. Теперь рассмотрим лучи BA и B₁A₁. Так как ∠B=∠B₁, то после наложения луч BA совпадает с лучом B₁A₁. Аналогично, поскольку ∠C можно найти через сумму углов треугольника (∠C=180^°-∠A-∠B) и ∠C₁=180^°-∠A₁-∠B₁, то из равенства данных углов следует равенство третьих углов: ∠C=∠C₁. Следовательно, луч CA совпадает с лучом C₁A₁.

Точка A является пересечением лучей BA и CA, а точка A₁ — пересечением лучей B₁A₁ и C₁A₁. Поскольку соответствующие лучи совпали, то и точки их пересечения должны совпасть: A ляжет на A₁. Таким образом, все три вершины треугольника ABC совместились с вершинами треугольника A₁B₁C₁, что доказывает полное совпадение фигур и, следовательно, равенство треугольников ABC=A₁B₁C₁.