ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 181: Примеры задач на построение

Для доказательства равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ воспользуемся методом удвоения медианы. Этот метод позволяет свести задачу о сравнении исходных треугольников к задаче о сравнении треугольников, образованных сторонами и удвоенными медианами.

Продлим медиану AM за точку M на отрезок MD, равный AM, так что точка D является симметричной точке A относительно середины стороны BC. Аналогично в треугольнике A₁B₁C₁ продлим медиану A₁M₁ до точки D₁ так, чтобы M₁D₁=A₁M₁. Рассмотрим полученные треугольники ABD и A₁B₁D₁.

В треугольниках ABD и A₁B₁D₁ имеем следующие соответствия сторон:

• AB=A₁B₁ (по условию задачи);
• AD=2AM и A₁D₁=2A₁M₁. Так как по условию AM=A₁M₁, то и их удвоенные значения равны: AD=A₁D₁;
• Третья пара сторон требует дополнительного обоснования через равенство других элементов или использование признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, если угол известен, либо через доказательство равенства третьих сторон BD и B₁D₁. Однако стандартный путь решения этой конкретной задачи через признак по трем сторонам требует знания равенства BD=B₁D₁. Заметим, что четырехугольник ABDC является параллелограммом (диагонали AD и BC делятся пополам), поэтому BD=AC. Аналогично, в другом треугольнике B₁D₁=A₁C₁. Поскольку по условию AC=A₁C₁, то и BD=B₁D₁.

По первому признаку равенства треугольников (по трем сторонам) следует, что △ABD=△A₁B₁D₁. Из этого равенства вытекает равенство соответствующих углов, в частности ∠BAD=∠B₁A₁D₁. Также из равенства треугольников следует равенство углов при основании, но более прямой путь — использовать полученное равенство для доказательства равенства исходных треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Рассмотрим теперь сами треугольники ABC и A₁B₁C₁. Мы знаем, что AB=A₁B₁ и AC=A₁C₁. Нам осталось доказать равенство углов между этими сторонами, то есть ∠BAC=∠B₁A₁C₁. Из равенства △ABD=△A₁B₁D₁ следует, что ∠DAB=∠D₁A₁B₁. В параллелограмме ABDC диагональ AD не обязательно делит угол A пополам, но мы можем рассмотреть другой подход. Более строго: раз △ABD=△A₁B₁D₁, то соответствующие элементы равны. Угол ∠ABD равен углу ∠A₁B₁D₁. Но это не дает напрямую угол A. Вернемся к построению. Треугольник ADC также можно рассмотреть. Или проще: из равенства △ABD=△A₁B₁D₁ следует, что площадь этих треугольников равна. А площадь △ABC равна половине площади △ABD (так как M середина BC, а D получено удвоением медианы, фактически S_ABC=S_ABD/2? Нет, S_ABD=2S_ABM, а S_ABC=2S_ABM, значит S_ABD=S_ABC). Это верно только если высота общая. Да, основание AD общее? Нет. Давайте используем признак равенства по двум сторонам и углу между ними для исходных треугольников. Нам нужно доказать ∠BAC=∠B₁A₁C₁. Из равенства △ABD=△A₁B₁D₁ следует ∠ADB=∠A₁D₁B₁. Также рассмотрим треугольники ACD и A₁C₁D₁. Стороны AC=A₁C₁, CD=AB=A₁B₁ (так как ABDC параллелограмм, CD=AB), AD=A₁D₁. Значит △ACD=△A₁C₁D₁ по трем сторонам. Отсюда ∠CAD=∠C₁A₁D₁. Угол ∠BAC=∠BAD+∠DAC (если луч AD внутри угла) или разность. В любом случае, сумма соответствующих углов равна. Следовательно, ∠BAC=∠B₁A₁C₁. Теперь у нас есть: AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ и ∠BAC=∠B₁A₁C₁. По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) △ABC=△A₁B₁C₁.