ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 183: Примеры задач на построение

План решения.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим обратное: пусть все три отрезка AD, BD и CD равны между собой. Так как точки A, B и C лежат на одной прямой, одна из них обязательно находится между двумя другими. Без ограничения общности будем считать, что точка B лежит на отрезке AC. Далее проанализируем свойства треугольников ABD и CBD, используя равенство сторон по предположению.

Ход доказательства.

1. По условию задачи точка D не лежит на прямой ABC. Точки A, B, C коллинеарны. 2. Допустим, что AD=BD=CD. Обозначим эту длину через r. 3. Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку AD=BD (по нашему допущению), этот треугольник является равнобедренным с основанием AB. Следовательно, углы при основании равны: ∠DAB=∠DBA.

4. Теперь рассмотрим треугольник CBD. Поскольку CD=BD (также по допущению), этот треугольник тоже равнобедренный с основанием CB. Значит, углы при его основании равны: ∠DCB=∠DBC.

5. Так как точка B лежит на отрезке AC, то лучи BA и BC противоположны. Углы ∠DBA и ∠DBC являются смежными, поэтому их сумма равна 180^°: ∠DBA+∠DBC=180^°.

6. Подставим выражения для этих углов через углы при основаниях равнобедренных треугольников. Из пунктов 3 и 4 имеем ∠DBA=∠DAB и ∠DBC=∠DCB. Тогда: ∠DAB+∠DCB=180^°.

7. Однако в треугольнике ADC сумма всех внутренних углов должна быть равна 180^°: ∠DAC+∠ACD+∠ADC=180^°. Заметим, что ∠DAC — это тот же угол, что и ∠DAB, а ∠ACD — тот же, что и ∠DCB. Таким образом, мы получили, что сумма двух углов треугольника ADC (∠DAC+∠ACD) уже равна 180^°. Это возможно только если третий угол ∠ADC равен 0^°, что означает совпадение точек A, D и C или вырождение треугольника, но главное — это противоречит тому, что D не лежит на прямой AC и образует с ней настоящий треугольник (или хотя бы ненулевой угол).

8. Более строгий геометрический вывод: Если AD=BD=CD, то точка D равноудалена от концов отрезка AC и от середины? Нет, просто от трех точек. Геометрическое место точек, равноудаленных от A и C, — серединный перпендикуляр к AC. Если B лежит на AC и BD=AD=CD, то D лежит на окружности с центром B радиуса BD. Но тогда AC — хорда этой окружности. Если B лежит на AC, то AC проходит через центр B. Значит, AC — диаметр. Тогда угол ∠ADC должен быть прямым (90^°). Но вернемся к углам при основании. В прямоугольном треугольнике ADC медиана DB, проведенная к гипотенузе AC, равна половине гипотенузы. То есть DB=AB=BC. Это согласуется с AD=BD=CD только если треугольник ADC равнобедренный прямоугольный? Нет. Если AD=CD, то △ADC равнобедренный. Если еще и BD=AD, то BD=CD=AD. В таком случае △ABD и △CBD равнобедренные. Сумма острых углов при основании ∠DAB+∠DCB должна быть меньше 180^° (так как они углы одного треугольника ADC). А мы вывели, что она равна 180^°. Противоречие.

Проверка и вывод.

Предположение о том, что AD=BD=CD, привело к логическому противоречию со свойствами углов треугольника и смежных углов. Следовательно, наше предположение неверно. Значит, хотя бы два из отрезков AD, BD и CD не могут быть равны одновременно. Иными словами, по крайней мере два из трёх отрезков не равны друг другу (в смысле того, что не все три равны, и нет такой конфигурации, где все три равны). Формулировка «по крайней мере два не равны» обычно означает, что множество значений длин содержит не менее двух различных чисел, либо что нельзя выбрать три равных отрезка. Доказательство завершено.