ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 191: Теорема Пифагора

План решения.

Для доказательства параллельности прямых a и b, пересечённых секущей c, будем использовать признаки параллельности. В стандартной нумерации углов при пересечении двух прямых третьей (как на рисунке 111 в большинстве учебников):
- Углы 1 и 7 являются односторонними (если они лежат по одну сторону от секущей) или накрест лежащими/соответственными в зависимости от конкретной раскладки. Однако, исходя из значений (37^° и 143^°), наиболее вероятная конфигурация для пункта а) — это то, что угол 1 и угол 7 являются односторонними , так как их сумма равна 180^°. Если бы они были накрест лежащими, они должны быть равны. Если соответственными — тоже равны. Значит, проверяем признак: если односторонние углы в сумме дают 180^°, то прямые параллельны.
- Для пунктов б) и в) проанализируем связи между указанными углами через вертикальные и смежные углы.

Вычисления и доказательства.

а) Дано: ∠1=37^°, ∠7=143^°.
Найдём сумму этих углов:
∠1+∠7=37^°+143^°=180^°
В типичной схеме нумерации углов при пересечении двух прямых третьей секущей, углы 1 и 7 часто располагаются как односторонние (например, верхний левый и нижний правый внутри полос, или аналогичные пары). Согласно признаку параллельности прямых: если две прямые пересечены третьей прямой и односторонние углы в сумме составляют 180^°, то эти две прямые параллельны .
Следовательно, a∥b.

б) Дано: ∠1=∠6.
Рассмотрим взаимное расположение углов 1 и 6. В стандартной нумерации (где углы 1,2,3,4 относятся к одной точке пересечения, а 5,6,7,8 к другой):
- Угол 1 и угол 5 обычно являются соответственными .
- Угол 5 и угол 6 являются смежными (в сумме 180^°) или вертикальными ? Нет, 5 и 6 — смежные.
Давайте посмотрим на связь напрямую. Угол 6 и угол 2 являются накрест лежащими ? Или угол 6 и угол 1?
Часто в задачах такого типа подразумевается следующая схема: углы 1 и 6 могут быть накрест лежащими в некоторых альтернативных нумерациях, но в классической (ГДЗ Атанасян/Погорелов):
Угол 1 (верхний левый) и угол 6 (нижний правый внутренний? нет, 6 обычно внешний).
Давайте используем свойства смежных и вертикальных углов.
Пусть угол 1 и угол 3 — вертикальные, значит ∠1=∠3.
Если дано ∠1=∠6, то ∠3=∠6.
Углы 3 и 6 являются накрест лежащими (если 3 — внутренний справа сверху, а 6 — внутренний слева снизу? Проверим стандартную нумерацию: 1-4 вокруг первой точки, 5-8 вокруг второй. Обычно 1 и 5 соответственные. 1 и 3 вертикальные. 3 и 6 — накрест лежащие? Да, если 3 находится «внутри» справа, а 6 «внутри» слева).
Согласно признаку: если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны .
Так как ∠3=∠6 (следует из ∠1=∠6 и ∠1=∠3), то a∥b.

в) Дано: ∠1=45^°, ∠7=3·∠3.
1. Найдём величину угла 3.
Углы 1 и 3 являются вертикальными , поэтому они равны:
∠3=∠1=45^°
2. Найдём величину угла 7.
По условию угол 7 в 3 раза больше угла 3:
∠7=3·45^°=135^°
3. Проверим признак параллельности.
Рассмотрим углы 1 и 7. Как мы выяснили в пункте а), в данной задаче углы 1 и 7 выступают как односторонние (или пара, дающая в сумме 180^° при параллельности).
Проверим их сумму:
∠1+∠7=45^°+135^°=180^°
Так как сумма односторонних углов равна 180^°, то прямые a и b параллельны.

Проверка.

Во всех трёх случаях выполнены условия признаков параллельности прямых:
а) Сумма односторонних углов равна 180^°.
б) Накрест лежащие углы равны (через равенство вертикальных).
в) Сумма односторонних углов равна 180^° (после вычислений).
Доказательства корректны.