ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 197: Теорема Пифагора

План решения.

Для доказательства параллельности прямых AB и биссектрисы угла BCE необходимо найти равные накрест лежащие или соответственные углы при пересечении этих прямых секущей. В качестве секущей удобно рассмотреть прямую AC. Сначала вычислим величину угла ABC, используя сумму смежных углов и теорему о сумме углов треугольника. Затем определим угол между биссектрисой и стороной BC, а также угол между биссектрисой и продолжением стороны AC. Сравним полученные значения с углом A.

Вычисления.

1. Углы △ACB и △BCE являются смежными, поэтому их сумма равна 180^o. Найдем угол △ACB: ∠ACB=180^o-∠BCE=180^o-80^o=100^o.
2. В треугольнике ABC сумма внутренних углов равна 180^o. Вычислим угол △ABC: ∠ABC=180^o-∠A-∠ACB=180^o-40^o-100^o=40^o. Заметим, что △ABC — равнобедренный (△A=△ABC=40^o), но это не обязательно для доказательства параллельности через внешние углы.
3. Пусть CK — биссектриса угла BCE. По определению биссектрисы она делит угол пополам: ∠KCB=1/2∠BCE=1/2·80^o=40^o.
4. Рассмотрим прямые AB и CK и секущую BC. Угол △ABC равен 40^o, а угол △KCB (часть внешнего угла) равен 40^o. Однако эти углы не являются накрест лежащими относительно секущей BC в стандартном понимании для доказательства параллельности AB∥CK, так как они лежат по одну сторону от прямой AC? Нет, давайте посмотрим внимательнее на расположение.
   Более простой путь: рассмотрим секущую AC. Продлим сторону AC за точку C до точки E. Угол △ACE развернутый. Биссектриса CK лежит внутри угла BCE. Нам нужно сравнить угол между CK и AC с углом A.
   Найдем угол △ACK. Так как △ACB=100^o и △BCK=40^o, то угол △ACK (если считать его как сумму △ACB+△BCK) будет равен 140^o. Это не дает прямого признака параллельности с углом A=40^o.
   Давайте используем признак параллельности через соответственные углы . Рассмотрим прямые AB и CK, пересекаемые секущей AE (продолжение AC). Угол △BAC=40^o. Найдем угол, который биссектриса CK образует с лучом CE. Поскольку CK — биссектриса угла BCE, то △KCE=1/2△BCE=40^o. Таким образом, мы имеем две прямые AB и CK, которые пересекает прямая AE. Угол △BAC и угол △KCE являются соответственными углами (они расположены одинаково относительно секущей и проверяемых прямых: оба «справа» от секущей и «вверху»/«внизу» в зависимости от ориентации чертежа, но главное — они равны).

Проверим корректность утверждения о соответственных углах. Прямая AC является частью прямой AE. Точка A лежит на одной из прямых (AB), точка C — на другой (CK). Секущая проходит через A и C. Угол при вершине A между секущей AC и прямой AB равен 40^o. Угол при вершине C между продолжением секущей CE и прямой CK равен 40^o. Эти углы находятся по одну сторону от секущей AE и занимают одно и то же положение относительно прямых AB и CK. Следовательно, они являются соответственными.

Проверка и вывод.

Так как соответственные углы при пересечении прямых AB и CK секущей AE равны (△BAC=△KCE=40^o), то по признаку параллельности прямых следует, что AB∥CK.

Ответ доказан: биссектриса угла BCE параллельна прямой AB.