7–9 классы Теорема Пифагора § 3. Теорема Пифагора

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 198: Теорема Пифагора

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Татьяна Белова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 197 201 →

Условие

В треугольнике ABC ∠A=40°, ∠B=70°. Через вершину B проведена прямая BD так, что луч BC — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения. Чтобы доказать параллельность прямых AC и BD, нам нужно найти пару равных накрест лежащих углов или соответственных углов при секущей. В качестве секущей удобно рассмотреть прямую AB. Мы вычислим величину угла ∠ABD, используя свойство биссектрисы, а затем сравним его с углом ∠BAC (или найдём угол ∠CAB и сопоставим с внутренними односторонними/накрест лежащими). Давайте последовательно найдём все необходимые углы.

Вычисления.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию дано: ∠A=40^° и ∠B=70^°. Здесь под ∠B подразумевается внутренний угол треугольника, то есть ∠ABC=70^°.
По условию луч BC является биссектрисой угла ABD. Это означает, что он делит угол ABD на два равных угла: ∠ABC и ∠CBD. ∠ABC=∠CBD Так как мы уже знаем, что ∠ABC=70^°, то и ∠CBD=70^°.
Теперь найдём весь угол ABD: ∠ABD=∠ABC+∠CBD=70^°+70^°=140^°
Рассмотрим прямые AC и BD и секущую AB. Нам нужно проверить признак параллельности. Посмотрим на внутренние односторонние углы при этих прямых и секущей AB: это ∠CAB (то есть ∠A) и ∠ABD. Сумма этих углов: ∠CAB+∠ABD=40^°+140^°=180^°

Проверка и вывод.

Если при пересечении двух прямых третьей секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180^°, то эти две прямые параллельны. Мы получили, что ∠A+∠ABD=180^°. Следовательно, прямая AC параллельна прямой BD (AC∥BD).

Дополнительная проверка через накрест лежащие углы (если продлить сторону BA за точку A): пусть точка E лежит на продолжении BA. Тогда смежный с ∠ABD угол не нужен, лучше посмотреть на другой вариант. Если бы мы рассматривали секущую BC, то ∠ACB=180^°-40^°-70^°=70^°. А ∠CBD=70^°. Углы ∠ACB и ∠CBD являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей BC. Так как они равны (70^°=70^°), то прямые параллельны. Этот способ даже проще!

Ответ

Доказательство

а) Из условия ∠ABC=70^°. Так как BC — биссектриса ∠ABD, то ∠CBD=∠ABC=70^°.

б) Найдём третий угол треугольника ABC: ∠ACB=180^°-∠A-∠B=180^°-40^°-70^°=70^°.

в) Рассмотрим прямые AC и BD и секущую BC. Углы ∠ACB и ∠CBD являются накрест лежащими.

г) Так как ∠ACB=70^° и ∠CBD=70^°, то накрест лежащие углы равны.

д) Следовательно, по признаку параллельности прямых, AC∥BD. Что и требовалось доказать.

В решении использован более элегантный путь через накрест лежащие углы при секущей BC, так как он требует меньше действий с суммой односторонних углов при длинном угле ABD. Оба способа верны.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 198 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 198?

Краткий ответ: Доказательство: 1) Из условия ABC = 70^ . Так как BC — биссектриса ABD, то CBD = ABC = 70^ . 2) Найдём третий угол треугольника ABC: ACB = 180^ - A - B = 180^ - 40^ - 70^ = 70^ . 3) Рассмотрим прямые AC и BD и секущую BC. Углы ACB и CBD являются накрест лежащими. 4) Так как ACB = 70^ и CBD = 70^ , то накрест лежащие углы равны. 5) Следовательно, по признаку параллельности прямых, AC BD. Что и требовалось доказать.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.