ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 195: Теорема Пифагора

План решения.

Чтобы доказать параллельность прямых DE и AC, нам нужно найти равные накрест лежащие углы при секущей. В данном случае удобной секущей является прямая AE. Нам необходимо вычислить величину угла ∠DEA (или ∠AED) и сравнить её с углом ∠EAC, который дан в условии (35^°). Для этого будем использовать свойства равнобедренных треугольников ABC и ADE.

Вычисления.

1. Рассмотрим треугольник ABC. По условию AB=BC, значит, △ABC — равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно:

2. Теперь рассмотрим угол ∠BAE. Он состоит из двух частей: ∠BAC и ∠CAE. Однако на рисунке обычно точка E лежит так, что луч AE проходит внутри или снаружи угла BAC. Давайте проанализируем расположение точек. Обычно в таких задачах точки A,B,C образуют один треугольник, а A,D,E другой, соединённый через вершину A или сторону. Но здесь сказано AD=DE, то есть △ADE тоже равнобедренный.

Давайте посмотрим на связь углов. Нам дан ∠EAC=35^°. Мы нашли ∠BAC=70^°.

Если предположить стандартную конфигурацию для задачи №195 (где D лежит на продолжении BA или как-то иначе), нам нужно понять структуру. Чаще всего в таких задачах фигура составлена из двух равнобедренных треугольников, имеющих общую вершину A, либо стороны лежат на одной прямой.

Предположим, что точки B,A,D не обязательно коллинеарны, но нам важны углы при вершине A и E.

Вспомним, что сумма углов треугольника равна 180^°. В △ABC: ∠B=180^°-70^°-70^°=40^°.

Теперь обратимся к △ADE. Он равнобедренный (AD=DE), значит, углы при основании AE равны: ∠DAE=∠DEA.

Нам нужно найти ∠DEA. Для этого нужно знать угол ∠DAE.

Угол ∠DAE связан с другими углами при вершине A. Посмотрим на рисунок 114 (стандартный для учебника Атанасяна/Шарыгина). Обычно там изображена ломаная или два треугольника, примыкающих друг к другу.

Часто в этой задаче подразумевается, что B,A,D лежат на одной прямой? Нет, тогда ∠DAE был бы смежным с ∠BAE. Или же C,A,E на одной прямой? Если C,A,E на одной прямой, то ∠EAC=180^°, что противоречит данным (35^°).

Давайте разберем наиболее вероятную геометрическую конфигурацию для этого номера: Треугольники ABC и ADE расположены так, что сторона AC общая или они имеют общую вершину A. Из условия ∠EAC=35^° следует, что луч AE находится внутри угла BAC или вне его.

Так как ∠BAC=70^° и ∠EAC=35^°, то луч AE делит угол BAC пополам? Не обязательно, но если E лежит внутри угла BAC, то ∠BAE=∠BAC-∠EAC=70^°-35^°=35^°.

Однако нам нужно связать это с треугольником ADE. В △ADE боковые стороны AD=DE. Значит, основание AE. Углы при основании равны: ∠DAE=∠DEA.

Здесь возникает вопрос: где находится точка D? Если мы доказывается параллельность DE||AC, то секущая AE должна образовывать равные накрест лежащие углы ∠DEA и ∠EAC.

Мы знаем, что ∠EAC=35^°. Если мы докажем, что ∠DEA=35^°, то всё сойдётся.

Из равнобедренности △ADE (AD=DE) следует, что ∠DEA=∠DAE.

Следовательно, нам нужно доказать, что ∠DAE=35^°.

Как связаны ∠DAE и другие углы? Посмотрим на вершину A. У нас есть угол ∠BAC=70^°. Есть угол ∠EAC=35^°.

Если предположить, что точки B,A,D лежат на одной прямой (это частый случай в задачах на параллельные прямые, когда две фигуры стоят на одной линии), то ∠BAD=180^°. Тогда ∠DAE+∠EAC+∠CAB=180^°? Нет, порядок лучей важен.

Рассмотрим вариант, что D лежит на продолжении BA за точку A. Тогда ∠DAC и ∠BAC смежные? Нет, ∠DAB=180^°. Луч AC исходит из A. ∠BAC=70^°. Тогда ∠DAC=180^°-70^°=110^°.

Луч AE проходит между AD и AC? Или AC между AD и AE?

Дано ∠EAC=35^°. Если AE лежит внутри ∠DAC, то ∠DAE=∠DAC-∠EAC=110^°-35^°=75^°. Тогда ∠DEA=75^°. Это не равно 35^°, параллельности нет.

Попробуем другую конфигурацию. Пусть D лежит на стороне AB? Нет, AD=DE, это отдельный треугольник.

Вернемся к классическому решению этой задачи из сборников. Часто условие подразумевает, что B,A,D не на одной прямой, а треугольники просто примыкают. Но без чертежа сложно.

Однако, есть подсказка: ∠C=70^°, ∠BAC=70^°. ∠EAC=35^°. Заметим, что 35^° — это половина от 70^°. Возможно, AE — биссектриса угла BAC? Если AE — биссектриса, то ∠BAE=35^°.

Но как это связано с △ADE?

Давайте внимательно прочитаем типичное решение для рисунка 114. На этом рисунке обычно показано, что D лежит на прямой AB? Нет.

Альтернативная интерпретация: Точки B,C,E могут быть связаны? Нет.

Давайте воспользуемся свойством внешнего угла или суммы углов.

Рассмотрим △ADE. AD=DE⇒∠DAE=∠DEA.

Рассмотрим △ABC. AB=BC⇒∠BAC=∠BCA=70^°.

Нам дано ∠EAC=35^°.

Если мы хотим доказать DE||AC, то при секущей AE должны выполняться равенства накрест лежащих углов: ∠DEA=∠EAC.

То есть нам нужно проверить, верно ли, что ∠DEA=35^°.

Так как △ADE равнобедренный, это эквивалентно тому, что ∠DAE=35^°.

Откуда возьмется ∠DAE=35^°?

Посмотрим на угол ∠DAB. Если предположить, что D,A,B лежат на одной прямой, то ∠DAB=180^°. Тогда ∠DAE+∠EAC+∠CAB=180^°? Это возможно, если лучи идут в порядке AD,AE,AC,AB. Тогда ∠DAE=180^°-35^°-70^°=75^°. Не подходит.

Если порядок лучей AD,AC,AE,AB? Тогда ∠DAE=∠DAC+∠CAE. ∠DAC=180-70=110. ∠DAE=110+35=145. Не подходит.

Есть еще один вариант расположения: Треугольник ADE пристроен к стороне AC? Нет, AD=DE.

Давайте посмотрим на задачу с другой стороны. Может быть, D лежит на BC? Нет.

Возможно, я упускаю простую деталь. Что если ∠B и ∠D связаны?

Давайте найдем ∠B=180-70-70=40^°.

Если DE||AC, то ∠EDA должен быть равен... чему? При секущей CD? Нет.

Пересмотрим условие «Докажите, что DE||AC». Это значит, что результат известен. Значит, мои вычисления должны привести к ∠DEA=35^°.

Это означает, что ∠DAE=35^°.

Как получить ∠DAE=35^° из данных?

Дано: ∠BAC=70^°, ∠EAC=35^°.

Если луч AE лежит внутри угла BAC, то ∠BAE=70-35=35^°.

Если луч AE лежит вне угла BAC (со стороны AB), то ∠BAE=70+35=105^°.

Где находится точка D? В равнобедренном △ADE (AD=DE) основание AE. Вершина D.

Обычно в таких задачах на параллельность используется признак: если соответственные углы равны.

Рассмотрим секущую AB? Нет, D не на AB.

Давайте предположим стандартный чертёж для этой задачи (часто встречается в ГДЗ): Точки B,A,D лежат на одной прямой. Но мы проверили, что это дает 75^°.

А что если C,A,D лежат на одной прямой?

Если C,A,D на одной прямой, то ∠CAD=180^°.

Тогда ∠DAE=180^°-∠EAC=180^°-35^°=145^°. Не подходит.

А что если E,A,B лежат на одной прямой?

Тогда ∠EAB=180^°. ∠EAC=35^°⇒∠CAB=180-35=145^°. Но у нас ∠CAB=70^°. Противоречие.

Осталось предположение: D лежит на стороне AB ? Нет, тогда AD часть AB. AD=DE. △ADE вписан в угол A.

Если D на AB, то ∠DAE совпадает с ∠BAE.

Мы выяснили, что если AE внутри ∠BAC, то ∠BAE=35^°.

Тогда ∠DAE=35^°.

Так как △ADE равнобедренный (AD=DE), то углы при основании AE равны: ∠DEA=∠DAE=35^°.

Теперь сравним ∠DEA и ∠EAC.

∠DEA=35^°.

∠EAC=35^° (по условию).

Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых DE и AC секущей AE.

Так как накрест лежащие углы равны, то DE||AC.

Проверка логики.

Ключевой момент — положение точки D. В условии не сказано явно, что D лежит на AB. Однако, фраза «На рисунке 114» подразумевает конкретную геометрию. Исходя из того, что доказательство должно получиться, единственная логичная конфигурация, где данные числа работают идеально: точка D лежит на стороне AB (или на луче AB), а луч AE проходит внутри угла BAC.

1. △ABC равнобедренный (AB=BC) →∠BAC=∠C=70^°.

2. Дано ∠EAC=35^°. Поскольку 35^°<70^°, луч AE может лежать внутри угла BAC. Тогда ∠BAE=∠BAC-∠EAC=70^°-35^°=35^°.

3. Если точка D лежит на стороне AB, то угол ∠DAE совпадает с углом ∠BAE. Следовательно, ∠DAE=35^°.

4. △ADE равнобедренный (AD=DE) → углы при основании AE равны: ∠DEA=∠DAE=35^°.

5. Рассматриваем прямые DE и AC и секущую AE. Накрест лежащие углы ∠DEA и ∠EAC равны (35^°=35^°).

6. Вывод: DE||AC.