ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 193: Теорема Пифагора

План решения.

Чтобы доказать параллельность прямых AC и BD, достаточно найти пару равных накрест лежащих углов при секущей. В данной задаче отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. Если мы докажем их равенство по двум сторонам и углу между ними, то соответствующие углы этих треугольников будут равны, что и даст нам нужное условие для параллельности.

Ход доказательства.

1. Пусть точка пересечения отрезков AB и CD обозначена как O. По условию задачи точка O является серединой обоих отрезков. Это означает, что:

• AO=OB (так как O — середина AB);
• CO=OD (так как O — середина CD).

2. Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными углами, образованными пересечением прямых AB и CD. Следовательно, они равны: ∠AOC=∠BOD

3. Теперь сравним треугольники △AOC и △BOD. У них есть следующие равные элементы:

• AO=BO;
• CO=DO;
• ∠AOC=∠BOD.

Значит, эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): △AOC=△BOD

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие против равных сторон CO и DO (или просто соответственные углы при вершинах A и B): ∠CAO=∠DBO

5. Рассмотрим прямые AC и BD и секущую AB. Углы ∠CAO (он же ∠CAB) и ∠DBO (он же ∠DBA) являются накрест лежащими углами. Поскольку мы доказали, что они равны, то по признаку параллельности прямых делаем вывод:

AC∥BD

Проверка.

Логика построения верна: равенство треугольников гарантирует равенство углов, а равенство накрест лежащих углов при одной секущей является достаточным условием для параллельности двух других прямых. Четырехугольник ADBC с диагоналями, делящимися пополам, является параллелограммом, у которого противоположные стороны (AC и BD) всегда параллельны.