ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 204

План доказательства:

Для решения задачи воспользуемся методом от противного и аксиомой параллельных прямых. Нам нужно показать, что если бы одна из сторон треугольника (BC или AC) не пересекала прямую p, то это привело бы к нарушению единственности параллельной прямой через точку вне данной.

Ход рассуждений:

1. Рассмотрим вершину C треугольника ABC. По условию, прямая p параллельна стороне AB. Поскольку C — третья вершина треугольника, она не лежит на прямой AB. Значит, точка C не лежит и на прямой p (так как p∥AB).

2. Допустим, что прямая BC не пересекает прямую p. Тогда по определению параллельных прямых, BC∥p.

3. У нас есть две прямые: AB и BC. Обе они проходят через точку B? Нет, AB проходит через A и B, а BC через B и C. Но нам важно положение относительно точки C и прямой p.

Давайте переформулируем точнее. Точка C не лежит на прямой p. Через точку C проведена прямая CB. Если предположить, что CB∥p, то у нас есть прямая p и точка C вне её.

Однако более строгий путь — использовать свойство транзитивности или аксиому о параллельных.

Рассмотрим прямую p. Она параллельна AB. Предположим, что AC не пересекает p. Тогда AC∥p. Так как p∥AB, то по признаку параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), получаем AC∥AB. Но прямые AC и AB имеют общую точку A. Две различные прямые не могут иметь более одной общей точки и быть параллельными одновременно (параллельные прямые не имеют общих точек). Противоречие. Следовательно, допущение неверно, и AC должна пересекать p.

Аналогично для стороны BC. Предположим, что BC не пересекает p. Тогда BC∥p. Так как p∥AB, то BC∥AB. Прямые BC и AB имеют общую точку B. Это невозможно для параллельных прямых. Противоречие. Следовательно, BC должна пересекать p.

Проверка:

Логика опирается на фундаментальное свойство: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. В нашем случае мы показали, что если сторона треугольника была бы параллельна p, то она была бы параллельна и AB, но при этом пересекалась бы с AB в вершине треугольника, что невозможно.