ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 209

План доказательства.

Чтобы доказать равенство отрезков CO и OD, достаточно показать, что треугольники AOC и BOD равны. Для этого воспользуемся признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. Нам известно, что точка O — середина отрезка AB, значит, AO=OB. Также прямые a и b параллельны, а секущие AB и CD образуют с ними углы, которые можно связать через свойства параллельных прямых.

Ход решения.

Рассмотрим треугольники △AOC и △BOD:

• По условию задачи точка O является серединой отрезка AB, следовательно, AO=OB.
• Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, поэтому они равны: ∠AOC=∠BOD.
• Так как прямые a и b параллельны (a∥b), а прямая AB служит для них секущей, то накрест лежащие углы равны. Угол ∠CAO (или ∠CAB) лежит между прямой a и секущей AB, а угол ∠DBO (или ∠DBA) — между прямой b и той же секущей. Следовательно: ∠CAO=∠DBO.

Итак, в треугольниках △AOC и △BOD мы имеем равенство стороны (AO=OB) и двух прилежащих к ней углов (∠CAO=∠DBO и ∠AOC=∠BOD). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) эти треугольники равны: △AOC=△BOD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Сторона CO в первом треугольнике соответствует стороне OD во втором. Таким образом, CO=OD. Что и требовалось доказать.

Проверка.

Логика построения верна: использование свойств параллельных прямых (равенство накрест лежащих углов) и факта деления отрезка пополам позволяет однозначно установить конгруэнтность треугольников. Равенство треугольников гарантирует равенство всех соответствующих сторон, включая искомые CO и OD. Противоречий с условием нет.