ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 212

План решения.

В задаче требуется определить взаимное расположение прямых AB и CD, опираясь на данные углы ∡ABC=65^° и ∡BCD=105^°. Обычно в таких задачах (по аналогии с задачей 211) рассматриваются два случая: когда эти углы являются накрест лежащими и когда они являются односторонними . Нам нужно проверить признаки параллельности для каждого из этих случаев.

Вычисление и анализ признаков.

Рассмотрим пункт а): предположим, что прямые AB и CD пересекаются секущей BC так, что углы ∡ABC и ∡BCD являются накрест лежащими .

• Признак параллельности гласит: если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Сравним значения: 65^°≠105^°.
• Так как углы не равны, признак параллельности не выполняется. Следовательно, в этом случае прямые не параллельны .

Рассмотрим пункт б): предположим, что углы ∡ABC и ∡BCD являются односторонними .

• Признак параллельности гласит: если сумма односторонних углов равна 180^°, то прямые параллельны.
• Найдем сумму углов: ∡ABC+∡BCD=65^°+105^°=170^°.
• Проверим равенство сумме 180^°: 170^°≠180^°.
• Так как сумма не равна 180^°, признак параллельности не выполняется. Следовательно, в этом случае прямые также не параллельны .

Проверка и вывод.

Мы проверили оба стандартных варианта расположения углов при пересечении двух прямых третьей. В обоих случаях условия параллельности не выполняются. Однако, учитывая ключ к ответу («а) Нет; б) да»), необходимо внимательно прочитать контекст задачи 211. Часто в таких учебниках вопрос звучит так: «Могут ли быть параллельны прямые...?» или предполагает проверку конкретного признака.

Если интерпретировать вопросы задачи 211 следующим образом:

1. а) Являются ли прямые параллельными, если углы накрест лежащие? Ответ: Нет , так как 65^°≠105^°.
2. б) Могут ли прямые быть параллельными, если углы односторонние? Здесь возникает расхождение с моим расчетом (170^°≠180^°). Но давайте посмотрим на другой вариант: возможно, в пункте б) речь идет о том, пересекаются ли прямые, или вопрос сформулирован иначе.

Перепроверим условие по ключу. Ключ говорит «б) да». Это означает, что во втором пункте прямые должны быть параллельны. При каких условиях это возможно с числами 65 и 105? Только если это не односторонние и не накрест лежащие в классическом понимании для одной пары, либо если один из углов является внешним, а другой внутренним соответственным? Нет, соответственные тоже должны быть равны.

Вероятно, в оригинальной задаче 211 пункты были другими. Например: а) равны ли накрест лежащие? б) дополняют ли до 180 односторонние? Или же вопрос был: «Параллельны ли прямые, если...».

Давайте рассмотрим ситуацию, где ответ «да» возможен. Если бы углы были, например, 75 и 105, то сумма была бы 180. Но у нас 65 и 105. Сумма 170. Разница 40.

Возможно, вопрос б) звучал как: «Являются ли прямые параллельными, если углы ... ?» и там другие углы? Нет, условие дано строго: ∡ABC=65^°, ∡BCD=105^°.

Единственный способ получить ответ «да» для параллельности — это если углы являются внешними односторонними ? Нет, их сумма тоже должна быть 180. А если это соответственные ? Они должны быть равны. 65≠105.

Обратим внимание на формулировку «Ответьте на вопросы задачи 211». В типичном учебнике (например, Атанасян) задача 211 часто содержит два вопроса: 1) Параллельны ли прямые, если накрест лежащие углы равны? 2) Параллельны ли прямые, если сумма односторонних углов равна 180?

Но здесь даны конкретные числа. Давайте предположим, что вопрос а) относится к накрест лежащим, а вопрос б) — к тому, могут ли прямые быть параллельными при каком-то другом расположении? Нет.

Скорее всего, в исходной задаче 211 вопросы были следующими: а) Равны ли накрест лежащие углы? б) Равна ли сумма односторонних углов 180 градусам?

Тогда ответы были бы: а) Нет (65≠105), б) Нет (170≠180). Но ключ дает «б) да».

Это противоречие указывает на то, что, возможно, в условии задачи 211 подразумевается проверка того, могут ли такие углы быть углами при параллельных прямых в какой-то конфигурации? Или же в ключе ошибка/опечатка в источнике, который вы используете?

Однако, есть еще одна возможность. Если прямые AB и CD параллельны, то угол, смежный с ∡BCD, равен 180-105=75^°. Он не равен 65. Угол, вертикальный к ∡BCD, равен 105. Он не равен 65.

Давайте посмотрим на задачу 211 в учебнике Атанасяна. Там обычно спрашивается: «Можно ли утверждать, что прямые параллельны, если...».

Если мы строго следуем математике: при данных углах прямые не параллельны ни в одном из стандартных случаев (накрест лежащие, соответственные, односторонние).

Но так как я должен дать решение, согласующееся с логикой школьного курса и, по возможности, ключом, давайте разберем возможную ловушку. Может быть, в пункте б) речь шла о том, что углы дополняют друг друга до чего-то ? Нет.

Примем тот факт, что математически при ∡ABC=65^° и ∡BCD=105^° прямые не параллельны. Если ключ утверждает обратное для пункта б), возможно, в пункте б) рассматривались другие углы или другая пара углов (например, если бы было дано 75 и 105). Но условие четко говорит: «если даны другие значения углов: 65 и 105».

В таком случае, наиболее честным решением будет указать, что прямые не параллельны. Однако, чтобы соответствовать формату ответа на «вопросы задачи 211», предположим, что вопросы были: а) Параллельны ли прямые, если углы накрест лежащие? б) Параллельны ли прямые, если углы односторонние?

Ответ а): Нет. Ответ б): Нет. Ключ «б) да» может относиться к ситуации, если бы сумма была 180. Так как 65+105=170, ответ должен быть «Нет». Возможно, в ключе опечатка, или в условии задачи 211 пункт б) звучал иначе (например, «Являются ли углы дополнительными?» — нет). Тем не менее, я напишу решение, основанное на строгих геометрических фактах. Прямые не параллельны.