ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 216

Рассмотрим две параллельные прямые a и b, которые пересечены секущей c. Обозначим точки пересечения как A (на прямой a) и B (на прямой b). Вокруг этих точек образуются углы. Нам нужно доказать два утверждения, используя свойства параллельных прямых и определения биссектрис.

а) Докажем, что биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.

Пусть β₁ — биссектриса угла при вершине A, а β₂ — биссектриса накрест лежащего с ним угла при вершине B. Так как прямые a и b параллельны (a∥b), то накрест лежащие углы равны. Пусть величина каждого из этих углов равна 2θ. Тогда, по определению биссектрисы, угол между секущей c и биссектрисой β₁ равен θ, и угол между секущей c и биссектрисой β₂ также равен θ.

Рассмотрим прямые β₁ и β₂ и секущую c. Углы, образованные этими прямыми с секущей, являются накрест лежащими и равны θ. Согласно признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы при пересечении двух прямых третьей равны, то эти две прямые параллельны. Следовательно, β₁∥β₂. Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Пусть β₃ — биссектриса одного из односторонних углов при вершине A, а β₄ — биссектриса другого одностороннего угла при вершине B. Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180^o. Пусть один из этих углов равен ν, тогда другой равен 180^o-ν.

Биссектриса делит угол пополам. Значит, угол между секущей c и биссектрисой β₃ равен ν/2, а угол между секущей c и биссектрисой β₄ равен 180^o-ν/2=90^o-ν/2.

Рассмотрим треугольник, образованный секущей c и двумя биссектрисами β₃ и β₄ (если они пересекаются). Сумма двух острых углов этого треугольника при основании (на секущей) равна: ν/2+(90^o-ν/2)=90^o

Так как сумма углов треугольника равна 180^o, то третий угол (угол пересечения биссектрис) равен: 180^o-90^o=90^o

Если две прямые пересекаются под углом 90^o, то они перпендикулярны. Следовательно, β₃botβ₄. Что и требовалось доказать.