ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 217

План решения. Нам дан треугольник ABC, в котором проведены высоты AA₁ и BB₁. Эти высоты пересекаются в точке H (ортоцентр). Угол B тупой, а угол C равен 20^°. Нужно найти величину угла AHB. Для этого рассмотрим четырёхугольник, образованный точками пересечения высот с основаниями и вершинами треугольника, или воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников.

Вычисление. Рассмотрим четырёхугольник A₁HB₁C. Так как AA₁ — высота, то ∠AA₁C=90^°, следовательно, ∠HA₁C=90^°. Аналогично, так как BB₁ — высота, то ∠BB₁C=90^°, следовательно, ∠HB₁C=90^°. Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360^°. В нашем случае сумма углов четырёхугольника A₁HB₁C равна: ∠HA₁C+∠A₁HB₁+∠HB₁C+∠C=360^° Подставим известные значения: 90^°+∠A₁HB₁+90^°+20^°=360^° 200^°+∠A₁HB₁=360^° ∠A₁HB₁=360^°-200^°=160^° Углы ∠AHB и ∠A₁HB₁ являются вертикальными, поэтому они равны. Следовательно, ∠AHB=160^°.

Проверка. Давайте проверим результат другим способом, через прямоугольные треугольники. В прямоугольном треугольнике ACA₁ (где ∠AA₁C=90^°) угол ∠CA₁A прямой, но нам нужен угол при вершине A. Лучше рассмотреть треугольник BCB₁. Он прямоугольный (∠BB₁C=90^°). Тогда ∠CB₁B=90^°. Угол ∠HCB₁ это тот же угол C, то есть 20^°. В прямоугольном треугольнике CHB₁ (рассматриваем часть высоты) сумма острых углов равна 90^°. Но проще посмотреть на треугольник ABH. Угол ∠AHB является внешним для некоторых конфигураций, но надежнее использовать свойство: угол между двумя высотами, проведенными из вершин к сторонам, смежным с углом C, равен 180^°-∠C (если угол C острый и ортоцентр внутри/снаружи корректно расположен относительно рассматриваемого четырехугольника). Формула ∠AHB=180^°-∠C справедлива для случая, когда мы смотрим на угол, вертикальный углу в четырехугольнике с прямыми углами у оснований высот. 180^°-20^°=160^°. Результат совпадает. Ответ верен.