ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 219

План решения.

Для доказательства параллельности прямых MD и AB воспользуемся признаками равенства треугольников и свойствами равнобедренного треугольника. Обозначим середину биссектрисы AD как точку O. По условию прямая проходит через O перпендикулярно AD, значит, она является серединным перпендикуляром к отрезку AD. Точка M лежит на этой прямой, следовательно, она равноудалена от концов отрезка AD, то есть MA=MD. Это свойство позволит нам связать углы при основании AC с углами треугольника AMD и использовать определение биссектрисы для перехода к углу A треугольника ABC.

Ход доказательства.

1. Пусть O — середина отрезка AD. По условию задача говорит о прямой, проходящей через O и перпендикулярной AD. Эта прямая пересекает сторону AC в точке M.
2. Рассмотрим треугольники △AOM и △DOM.
   • AO=OD (так как O — середина AD).
   • угол AOM=угол DOM=90^o (по условию перпендикулярности).
   • OM — общая сторона.
   Следовательно, △AOM=△DOM по первому признаку равенства треугольников (по двум катетам или по стороне и двум прилежащим углам, если рассматривать их как прямоугольные).
3. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: AM=DM. Значит, треугольник △AMD — равнобедренный с основанием AD.
4. В равнобедренном треугольнике △AMD углы при основании равны: угол MAD=угол MDA.
5. Так как AD — биссектриса треугольника ABC, то она делит угол BAC пополам. Следовательно, угол BAD=угол CAD. Заметим, что точка M лежит на стороне AC, поэтому угол CAD совпадает с углом MAD. Таким образом, угол BAD=угол MAD.
6. Объединяя пункты 4 и 5, получаем цепочку равенств углов: угол MDA=угол MAD=угол BAD То есть угол MDA=угол BAD.
7. Рассмотрим прямые AB и MD и секущую AD. Углы MDA и BAD являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку они равны, то по признаку параллельности прямых заключаем, что MD||AB.

Проверка.

Логика построения верна: использование свойства точек, лежащих на серединном перпендикуляре, корректно приводит к равнобедренному треугольнику AMD. Равенство углов при основании этого треугольника с половиной угла A исходного треугольника (за счет определения биссектрисы) создает необходимое условие для равенства накрест лежащих углов при секущей AD. Доказательство завершено.