ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 224

План доказательства.

Для доказательства утверждения о параллельности прямых удобно использовать метод от противного. Предположим обратное: пусть прямые a и b не параллельны. Тогда они должны пересекаться в некоторой точке. Наша задача — показать, что это предположение приводит к противоречию с условием задачи.

Ход рассуждений.

Допустим, что прямые a и b пересекаются в точке C. По условию задачи известно, что любая прямая, пересекающая прямую a, также пересекает прямую b. Рассмотрим произвольную точку A на прямой a, которая не совпадает с точкой пересечения C. Проведем через точку A прямую c, которая не проходит через точку C (например, возьмем прямую c, проходящую через A под углом к прямой a, отличным от угла между a и b).

Прямая c пересекает прямую a в точке A. Согласно условию, она должна пересекать и прямую b. Однако, если прямые a и b пересекаются в точке C, то через точку A можно провести бесконечно много прямых. Среди них есть такие, которые не проходят через точку C. Если мы выберем прямую c так, чтобы она не проходила через C, то она может не пересечь прямую b? Нет, в плоскости две непараллельные прямые всегда пересекаются. Но давайте посмотрим внимательнее на формулировку «любая прямая».

Более строгий подход: если прямые a и b пересекаются в точке C, то рассмотрим прямую m, проходящую через точку C и не совпадающую ни с a, ни с b. Эта прямая m пересекает a в точке C и b в точке C. Это не противоречит условию напрямую. Нужно найти такую прямую, которая пересекает a, но не пересекает b, если a и b не параллельны. В евклидовой геометрии это невозможно для всех прямых одновременно, если только... Стоп. Условие говорит: «если любая прямая, пересекающая a, пересекает и b».

Давайте применим аксиому параллельности. Через точку A на прямой a (A≠C) проведем прямую l, параллельную прямой b. Такая прямая существует и единственна по аксиоме параллельных прямых. Поскольку l∥b, то l не имеет общих точек с b. При этом l пересекает a в точке A (так как A лежит на a, а l проходит через A). Таким образом, мы построили прямую l, которая пересекает a, но не пересекает b. Это противоречит условию задачи, которое требует, чтобы любая прямая, пересекающая a, пересекала и b.

Вывод.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что прямые a и b пересекаются, было неверным. Следовательно, прямые a и b не имеют общих точек, то есть они параллельны. Что и требовалось доказать.