ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 226

План решения.

Для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой, удобно использовать свойства параллельных прямых. Если мы докажем, что отрезок AM параллелен стороне BC, и одновременно отрезок AN также параллелен стороне BC, то по аксиоме параллельности (через точку A можно провести только одну прямую, параллельную данной) точки M, N и A будут лежать на этой единственной прямой.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим четырехугольник ABCM. По условию, середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC. Обозначим эту общую середину за точку O₁. Тогда диагонали BM и AC четырехугольника ABCM пересекаются в точке O₁ и делятся ею пополам (BO₁=O₁M и AO₁=O₁C).

Четырехугольник, у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, ABCM — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому AM∥BC.

Теперь рассмотрим четырехугольник ABCN. По условию, середина отрезка CN совпадает с серединой стороны AB. Обозначим эту общую середину за точку O₂. Тогда диагонали CN и AB четырехугольника ABCN пересекаются в точке O₂ и делятся ею пополам (CO₂=O₂N и AO₂=O₂B).

Аналогично предыдущему случаю, так как диагонали CN и AB делят друг друга пополам, четырехугольник ABCN является параллелограммом. Значит, его противоположные стороны параллельны: AN∥BC.

Проверка и вывод.

Мы получили два факта: AM∥BC и AN∥BC. Обе эти прямые проходят через одну и ту же точку A. Согласно аксиоме параллельности, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Поскольку точка A не лежит на прямой BC (так как ABC — треугольник), прямые AM и AN должны совпадать.

Если прямые AM и AN совпадают, то точки M, N и A лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.