7–9 классы 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 231: 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Анна Соколова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 230 232 →

Условие

Доказать свойства углов при основании равнобедренного треугольника

а) они острые

б) внешние углы при них тупые.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для доказательства свойств углов при основании равнобедренного треугольника воспользуемся определением равнобедренного треугольника и теоремой о сумме углов треугольника. Пусть дан треугольник ABC, где AB=BC. Тогда углы △ABC при основании AC равны: △A=△C.

а) Докажем, что углы при основании острые.

Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180^o: △A+△B+△C=180^o
Так как △A=△C, то сумма этих двух углов равна 2△A.
Угол при вершине △B должен быть положительным (△B>0^o), так как это угол треугольника.
Следовательно, сумма углов при основании должна быть строго меньше 180^o: 2△A<180^o
Разделив неравенство на 2, получаем: △A<90^o
Аналогично, △C<90^o. Углы, меньшие прямого угла, называются острыми. Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что внешние углы при основании тупые.

Внешний угол треугольника при данной вершине равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, или дополняет внутренний угол до 180^o.
Рассмотрим внешний угол при вершине A. Обозначим его △A_ext. Он смежен с внутренним углом △A, поэтому: △A_ext=180^o-△A
Из пункта (а) мы знаем, что △A<90^o.
Если из 180^o вычесть число, меньшее 90^o, результат будет больше 90^o: △A_ext>180^o-90^o=90^o
Таким образом, △A_ext>90^o. Аналогично для внешнего угла при вершине C: △C_ext>90^o.
Углы, большие прямого угла (и меньшие развёрнутого), называются тупыми. Что и требовалось доказать.

Ответ

а) Сумма двух равных углов при основании меньше 180°, значит каждый из них меньше 90° (острый).

б) Внешний угол равен 180° минус острый внутренний угол, значит он больше 90° (тупой).

Доказательство опирается на базовые свойства суммы углов треугольника и определения острых/тупых углов.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 231 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 231?

Краткий ответ: а) Сумма двух равных углов при основании меньше 180°, значит каждый из них меньше 90° (острый). б) Внешний угол равен 180° минус острый внутренний угол, значит он больше 90° (тупой).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.