ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 222

План доказательства.

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует прямая d, которая пересекает прямую a, но не пересекает прямую b. Нам нужно показать, что это предположение приводит к противоречию с известными свойствами параллельных прямых или аксиомой параллельности.

Ход рассуждений и вычисление.

Дано: a∥c и b∥c. Пусть прямая d пересекает прямую a в некоторой точке A. Допустим, что прямая d не пересекает прямую b. Это означает, что d∥b.

Так как по условию b∥c, а мы предположили, что d∥b, то согласно транзитивности отношения параллельности (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу), следует, что d∥c.

С другой стороны, нам известно, что a∥c. Прямая d пересекает прямую a. Если бы d была параллельна c, то она не могла бы пересекать a, так как a сама параллельна c? Нет, здесь логика чуть сложнее. Давайте используем более прямой путь через точку пересечения.

Рассмотрим точку A — точку пересечения прямых a и d. Через точку A проходит прямая a, которая параллельна c. Также через точку A проходит прямая d. Если предположить, что d не пересекает b, то d∥b. Поскольку b∥c, то и d∥c.

Итак, у нас получается следующая ситуация: через точку A проходят две различные прямые (a и d), каждая из которых параллельна прямой c. Однако по аксиоме параллельности (Евклидова геометрия) через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Точка A не лежит на прямой c (так как a∥c). Следовательно, наличие двух различных прямых a и d, проходящих через A и параллельных c, невозможно.

Это противоречие опровергает наше предположение о том, что d не пересекает b.

Вывод.

Так как предположение о непараллельности d и b привело к противоречию с аксиомой параллельности, значит, прямая d обязана пересекать прямую b. Что и требовалось доказать.