ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 215
Тема: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства углов воспользуемся свойством параллельных прямых и секущей. Нам дано, что AP1∥BP2∥CP3. Угол ∠ACB является углом при вершине C, образованным отрезками нити AC и BC. Чтобы связать его с углами ∠CAP1 и ∠CBP2, удобно провести вспомогательную линию — продолжение луча CP3 за точку C. Обозначим эту прямую как l. Тогда прямая l параллельна прямым AP1 и BP2.
Вычисление и доказательство.
Рассмотрим прямые AP1 и l (продолжение CP3), которые параллельны между собой (AP1∥l). Прямая AC выступает в роли секущей для этих параллельных прямых. По теореме о накрест лежащих углах при параллельных прямых и секущей, угол ∠CAP1 равен углу, который образуется между секущей AC и прямой l со стороны, противоположной P3. Обозначим этот угол как ∠ACD, где D — точка на продолжении CP3 за C. Таким образом, ∠ACD=∠CAP1.
Аналогично рассмотрим параллельные прямые BP2 и l (BP2∥l) с секущей BC. Накрест лежащие углы равны, поэтому угол ∠BCD (где D та же точка на продолжении) равен углу ∠CBP2. То есть, ∠BCD=∠CBP2.
Теперь посмотрим на угол ∠ACB. Луч CD лежит внутри угла ∠ACB (так как тела подвешены симметрично относительно вертикали через C, а блоки A и B находятся выше точки C). Следовательно, угол ∠ACB складывается из двух частей: ∠ACD и ∠BCD. ∠ACB=∠ACD+∠BCD Подставив найденные ранее равенства, получаем: ∠ACB=∠CAP1+∠CBP2
Проверка.
Логика рассуждения опирается на фундаментальное свойство параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу, и накрест лежащие углы при пересечении их секущей равны. Мы использовали это свойство дважды: сначала для пары (AP1,CP3) с секущей AC, затем для пары (BP2,CP3) с секущей BC. Суммирование полученных углов корректно, так как луч CP3 направлен вниз, а блоки A и B расположены выше, образуя «треугольник» сил или геометрическую фигуру, где вертикальная линия делит верхний угол на две части, каждая из которых равна соответствующему нижнему углу наклона нити к вертикали. Равенство доказано.
Доказательство: Пусть луч CP3 продолжается за точку C до точки D. Так как AP1∥CP3, то AP1∥CD. Секущая AC образует накрест лежащие углы ∠CAP1 и ∠ACD, значит ∠ACD=∠CAP1. Аналогично, так как BP2∥CP3, то BP2∥CD. Секущая BC образует накрест лежащие углы ∠CBP2 и ∠BCD, значит ∠BCD=∠CBP2. Угол ∠ACB состоит из суммы ∠ACD и ∠BCD. Следовательно, ∠ACB=∠CAP1+∠CBP2. Что и требовалось доказать.
Задача решается методом введения вспомогательной прямой (продолжения вертикальной линии силы тяжести/нити) и использования свойства накрест лежащих углов при параллельных прямых.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 215 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 215?
Краткий ответ: Доказательство: Пусть луч CP_3 продолжается за точку C до точки D. Так как AP_1 CP_3, то AP_1 CD. Секущая AC образует накрест лежащие углы CAP_1 и ACD, значит ACD = CAP_1. Аналогично, так как BP_2 CP_3, то BP_2 CD. Секущая BC образует накрест лежащие углы CBP_2 и BCD, значит BCD = CBP_2. Угол ACB состоит из суммы ACD и BCD. Следовательно, ACB = CAP_1 + CBP_2. Что и требовалось доказать.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.