ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 180: Примеры задач на построение

План решения.

Для доказательства того, что луч OE является биссектрисой угла XOY, необходимо показать равенство углов ∠AOE=∠BOE. Согласно указанию, сначала докажем равенство треугольников AOD и BOC. Это позволит установить равенство соответствующих элементов этих треугольников. Затем, используя полученные данные, докажем равенство треугольников EBD и EAC, чтобы найти связь между сторонами или углами, прилегающими к вершине E. Наконец, через равенство треугольников AOE и BOE (или использование свойств симметрии) завершим доказательство.

Вычисление и доказательства.

1. Рассмотрим треугольники AOD и BOC.
   • OA=OB по условию задачи.
   • ∠O — общий угол для обоих треугольников.
   • Так как точки A,B лежат на сторонах угла, а C,D также отмечены так, что AC=BD, то нужно аккуратно определить расположение точек. Обычно в таких задачах подразумевается, что C лежит на стороне OX за точкой A (или наоборот), а D на OY за B. Однако условие говорит: «На сторонах угла... отмечены точки A, B и D». Здесь есть опечатка в условии пересказа или нестандартная формулировка. Стандартная задача: на сторонах угла отложены равные отрезки OA=OB, и далее отложены равные отрезки AC=BD (где C на одной стороне, D на другой). Тогда OC=OA+AC и OD=OB+BD. Так как OA=OB и AC=BD, то OC=OD.
   Теперь сравним △AOD и △BOC:
   • OA=OB (дано).
   • OD=OC (так как OD=OB+BD и OC=OA+AC, а слагаемые равны).
   • ∠AOD=∠BOC (общий угол ∠XOY).
   По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): △AOD=△BOC.
2. Из равенства △AOD=△BOC следует равенство соответствующих углов: ∠OAD=∠OBC и ∠ODA=∠OCB. Также равны соответствующие стороны: AD=BC.
3. Рассмотрим треугольники EAC и EBD.
   • AC=BD по условию.
   • ∠ECA=∠OCB (вертикальные? нет, это один и тот же угол, если C на прямой). Углы ∠ACE и ∠BDE являются смежными с углами ∠OCB и ∠ODA соответственно? Нет, посмотрим на рисунок мысленно. Точки A,C на одной стороне, B,D на другой. Прямые AD и BC пересекаются в E. Угол ∠CAE смежен с углом ∠OAD? Если порядок точек O-A-C, то ∠OAD и ∠CAD не смежные, они разные. Но ∠OAD — это угол внутри треугольника AOD. В треугольнике EAC: угол ∠EAC смежен с углом ∠OAD (если A между O и C)? Нет, обычно A ближе к O. Тогда ∠OAD и ∠DAC составляют линейный угол только если D,A,... но D на другой стороне. Давайте используем другие углы. Из △AOD=△BOC имеем ∠ADO=∠BCO. Значит, смежные с ними углы ∠ADC (внешний?) и ∠BCD равны? Не совсем. Проще: ∠EAC=180^°-∠OAD (если O,A,C коллинеарны и A между O,C? Нет, A и C на одной стороне. Если OA<OC, то A между O и C. Тогда ∠OAD и ∠CAD — это один и тот же угол? Нет, D не на прямой OC. Угол ∠OAD образован лучом AO и отрезком AD. Угол ∠EAC образован лучом AC (продолжение OA) и отрезком AE (часть AD). Так как O,A,C лежат на одной прямой, то ∠OAD+∠DAC=180^°. Аналогично ∠OBC+∠CBD=180^°. Так как ∠OAD=∠OBC, то их смежные углы равны: ∠EAC=∠EBD.
   • Аналогично, из равенства ∠ODA=∠OCB следует равенство смежных углов: ∠EDB=∠ECA.
   • Сторона AC=BD по условию.
   По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): △EAC=△EBD.
4. Из равенства △EAC=△EBD следует равенство соответствующих сторон: EA=EB.
5. Теперь рассмотрим треугольники AOE и BOE.
   • OA=OB по условию.
   • OE — общая сторона.
   • EA=EB (доказано выше).
   По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам): △AOE=△BOE.
6. Из равенства △AOE=△BOE следует равенство соответствующих углов: ∠AOE=∠BOE.

Так как луч OE делит угол XOY на два равных угла, он является биссектрисой этого угла.

Проверка и описание построения.

Логика доказательства последовательна: от равенства больших треугольников (AOD и BOC) мы перешли к равенству меньших («ушек» EAC и EBD), получили равенство отрезков EA=EB, и затем доказали равенство центральных треугольников AOE и BOE. Все шаги обоснованы аксиомами и теоремами планиметрии.

Способ построения биссектрисы:

1. От вершины угла O циркулем отложить на обеих сторонах угла равные отрезки OA и OB.
2. Продлить эти отрезки (или отложить дальше от вершины) равные отрезки AC и BD так, чтобы AC=BD. Получаем точки C и D.
3. Провести прямую AD и прямую BC.
4. Найти точку пересечения E этих прямых.
5. Провести луч OE. Этот луч будет биссектрисой угла XOY.