ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 178: Примеры задач на построение

План доказательства.

Для того чтобы доказать, что внешний угол треугольника больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним, воспользуемся методом дополнительного построения. Пусть дан треугольник ABC, а β — внешний угол при вершине A. Нам нужно показать, что β>bangleB и β>bangleC. Мы будем использовать свойство равенства треугольников и тот факт, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (или просто сравнение углов через параллельные прямые/равенство). Согласно подсказке, мы построим вспомогательный треугольник, равновеликий части исходного, чтобы перенести один из внутренних углов внутрь внешнего.

Ход решения.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Продлим сторону BA за точку A до точки D. Угол bangleCAD является внешним углом треугольника при вершине A. Обозначим его как β. Нужно доказать: β>bangleABC и β>bangleACB.
2. Докажем неравенство β>bangleABC. Для этого выполним построение по указанию:
   • Пусть O — середина стороны AB. Значит, AO=OB.
   • Проведем отрезок CO и продолжим его за точку O на расстояние, равное CO. То есть отложим отрезок OE так, что CO=OE.
   • Соединим точку E с точкой A.
3. Рассмотрим треугольники △AOE и △BOC.
   • AO=OB (по построению, O — середина).
   • EO=OC (по построению).
   • bangleAOE=bangleBOC (как вертикальные углы).
   Значит, △AOE=△BOC по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: bangleEAO=bangleOBC. Но bangleOBC — это угол bangleB треугольника ABC. Следовательно, bangleEAB=bangleB.
5. Теперь посмотрим на расположение лучей внутри внешнего угла bangleCAD. Луч AE проходит внутри угла bangleCAD? Да, так как точка E лежит по ту же сторону от прямой AC, что и точка B относительно прямой AD? Нет, давайте проверим геометрию точнее. Точка E симметрична точке C относительно середины AB. Вектор AE=AB+BE? Проще: bangleCAD состоит из bangleCAE и bangleEAD? Или bangleCAD>bangleEAD? Так как △AOE=△BOC, то bangleEAO=bangleCBO. Угол bangleEAO совпадает с углом bangleEAB. Этот угол лежит внутри внешнего угла bangleCAD? Внешний угол bangleCAD образован лучом AC и лучом AD (продолжение BA). Луч AE выходит из вершины A. Так как bangleEAB=bangleB, а сумма углов треугольника меньше 180^o, то положение луча AE таково, что он попадает внутрь угла bangleCAD. Более строго: bangleCAD=bangleCAE+bangleEAD? Нет, bangleCAD и bangleCAB смежные. bangleEAB и bangleCAB имеют общую сторону AB. Если bangleEAB=bangleB, то луч AE лежит внутри угла bangleCAD только если... Давайте используем другое рассуждение, более надежное для школьного курса. Вместо проверки положения луча, заметим следующее: bangleCAD — внешний угол. Мы доказали, что bangleEAB=bangleB. При этом bangleEAB является частью внешнего угла bangleCAD? Нет, bangleEAB примыкает к стороне AB. Внешний угол bangleCAD примыкает к стороне AC и продолжению AB. Углы bangleEAB и bangleCAD имеют общую вершину A. Луч AB и луч AD противоположны. Значит, bangleEAB и bangleEAD смежные? Нет. Давайте вернемся к классическому доказательству через параллельность или просто через сумму углов, но следуя подсказке про середину. Подсказка говорит: "воспользоваться неравенством bangleBAD>bangleBAE". Здесь опечатка в обозначении в подсказке или я неверно трактовал буквы. Обычно внешний угол обозначают как угол между стороной и продолжением другой. Пусть внешний угол при A — это bangleDAC (где D на продолжении BA). Подсказка пишет bangleBAD. Это развернутый угол? Нет, скорее всего, имеется в виду, что мы сравниваем внешний угол с построенным углом. Перечитаем подсказку внимательно: "угол BAD — смежный с углом A". Значит, D лежит на продолжении CA? Или BA? Обычно смежный с bangleA (bangleBAC) это bangleCAD (если D на продолжении BA) или bangleBAE (если E на продолжении CA). Если bangleBAD смежный с bangleA, то D лежит на продолжении стороны AC за точку A? Нет, тогда угол называется bangleDAB. Допустим, D лежит на продолжении BA за A. Тогда внешний угол — bangleCAD. В подсказке написано bangleBAD. Возможно, там опечатка и имелось в виду bangleCAD? Или D на продолжении CA? Если D на продолжении CA, то bangleBAD — внешний угол при A. Предположим, D лежит на продолжении CA за точку A. Тогда bangleBAD — внешний угол. Построение: O — середина AB. Продолжаем CO до E, CO=OE. Соединяем AE. △AOE=△BOCbmod(bangleEAO=bangleCBO=bangleB). Луч AE и луч AD (продолжение CA). Угол bangleEAD ? Нам нужно доказать bangleBAD>bangleB. Мы знаем bangleEAB=bangleB. Если луч AE лежит внутри угла bangleBAD, то bangleBAD=bangleBAE+bangleEAD>bangleBAE=bangleB. Почему луч AE лежит внутри bangleBAD? Точка E симметрична C относительно O (середины AB). Значит, ACBE — параллелограмм? Нет, диагонали AB и CE делятся пополам в точке O. Значит, четырехугольник ACBE — параллелограмм. В параллелограмме ACBE сторона AE параллельна стороне CB. Если AEbparallelCB, то рассмотрим секущую AB. Накрытые углы bangleEAB и bangleCBA равны. Это мы уже получили. Теперь про внешний угол bangleBAD (где D на продолжении CA). Так как AEbparallelBC, а AD — часть прямой AC, то угол bangleEAD равен углу bangleBCA (соответственные углы при параллельных прямых AE и BC и секущей CD)? Да, bangleEAD=bangleC. Тогда внешний угол bangleBAD=bangleBAE+bangleEAD=bangleB+bangleC. Отсюда сразу следует, что bangleBAD>bangleB (так как bangleC>0) и bangleBAD>bangleC (так как bangleB>0). Это самый строгий путь, использующий свойства параллелограмма, который получается из построения с серединой.

Проверка и вывод.

Мы показали, что при данном построении четырехугольник ACBE является параллелограммом, так как его диагонали AB и CE пересекаются в середине каждой из них (точка O). Из свойств параллелограмма следует, что AEbparallelBC. Рассмотрим внешний угол bangleBAD (где D лежит на продолжении стороны AC за точку A). Этот угол раскладывается на два угла: bangleBAE и bangleEAD. 1. bangleBAE=bangleABC (накрест лежащие углы при параллельных прямых AE и BC и секущей AB). 2. bangleEAD=bangleACB (соответственные углы при параллельных прямых AE и BC и секущей CD). Таким образом, величина внешнего угла равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: bangleBAD=bangleB+bangleC. Поскольку внутренние углы треугольника положительны (bangleB>0^o,bangleC>0^o), то сумма bangleB+bangleC строго больше каждого из слагаемых. Следовательно, bangleBAD>bangleB и bangleBAD>bangleC. Что и требовалось доказать.