ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 174: Примеры задач на построение

План решения:

Для доказательства равенства отрезков AB и EF необходимо рассмотреть треугольники △AOB и △FOE. Мы будем использовать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (первый признак). Для этого нужно установить равенство соответствующих сторон и углов в этих треугольниках.

Вычисление и доказательство:

1. По условию задачи дано, что OC=OD. Поскольку точки A,O,C лежат на одной прямой, а точки F,O,D также лежат на одной прямой (судя по стандартной схеме измерения ширины озера через вертикальные углы), то OA и OC — это части одного луча или продолжения, но чаще всего в таких задачах подразумевается, что O — середина или точка пересечения диагоналей. Однако, исходя из условия OB=OE и OC=OD, обычно рассматривают треугольники, образованные вертикальными углами при вершине O. Предположим, что A,O,F не коллинеарны напрямую с C,D, а структура такова: O — центр симметрии или точка пересечения отрезков AD и BC? Нет, условие говорит про OC=OD и OB=OE. Скорее всего, речь идет о треугольниках △AOB и △EOD? Или △AOC и △DOE? Давайте внимательно посмотрим на типичную задачу «измерение ширины озера». Обычно строят два равных треугольника вокруг точки O. Если OC=OD и OB=OE, то часто B,O,C и E,O,D лежат на прямых, либо A,O,B и E,O,F. В стандартной формулировке этой задачи (задача 174 по геометрии Атанасяна или аналогичных учебников) фигура состоит из двух треугольников △AOB и △EOF (или подобных им), которые являются вертикальными относительно точки O. Но здесь даны OC=OD и OB=OE. Это намекает на то, что мы должны доказать равенство треугольников △COB и △DOE? Нет, нам нужно AB=EF. Скорее всего, точки расположены так: A-O-C — одна прямая, F-O-D — другая? Или A-O-B и E-O-F? Давайте предположим наиболее вероятную конфигурацию для доказательства AB=EF: треугольники △AOB и △FOE равны. Для этого нужны данные: AO=FO, BO=EO и угол AOB= угол FOE (вертикальные). Но в условии дано OC=OD и OB=OE. Возможно, A совпадает с C, а F с D? Или ABCD — параллелограмм? Перечитаем условие: «На рисунке выполнено условие OC=OD и OB=OE». Требуется доказать AB=EF. Обычно в таких задачах O — точка пересечения отрезков AD и BC? Нет. Рассмотрим треугольники △AOB и △EOD? Нет, нужно EF. Вероятная схема: Есть две пересекающиеся прямые. На одной отложены OA и OB, на другой OE и OF? Нет, дано OC,OD,OB,OE. Скорее всего, A лежит на продолжении CO, а F на продолжении DO? Или C и D — это концы отрезков, проходящих через O. Если OC=OD и OB=OE, и если B,O,C коллинеарны, а E,O,D коллинеарны, то △BOC вырожден. Стандартная задача: Измерение ширины озера. На берегу выбирают точку O. От нее откладывают равные отрезки OA и OB к противоположному берегу? Нет. Часто используют схему: Точка O на берегу. Проводят лучи OA и OB к точкам на другом берегу (A и B — концы ширины озера?). Нет, ширина — это AB. Тогда строим треугольник △AOB. Затем достраиваем его до параллелограмма или используем центральную симметрию. Если OC=OD и OB=OE, возможно, C и D — это точки на лучах OA и OF? Давайте рассмотрим треугольники △AOB и △FOE. Если они равны, то AB=FE. Условие OC=OD может означать, что A=C и F=D? Тогда OA=OF? Нет, OC=OD. Предположим, что A,O,D лежат на одной прямой, а F,O,C на другой? Или A,O,C и F,O,D? Если A,O,C — прямая, и F,O,D — прямая, то углы AOF и COD вертикальные. Но у нас есть B и E. Где они? Возможно, B лежит на AC, а E на FD? Нет. Самый частый вариант задачи 174 (Атанасян): Даны отрезки AD и BC, пересекающиеся в точке O. Если AO=OD и BO=OC, то AB=CD. Здесь же OC=OD и OB=OE. И нужно доказать AB=EF. Это значит, что рассматриваются треугольники △AOB и △EOD? Нет, EF. Значит, треугольники △AOB и △FOE. Чтобы они были равны, нужно AO=FO, BO=EO и ∠AOB=∠FOE. Из условия OB=OE следует одно равенство сторон. Где берутся AO=FO и равенство углов? Если OC=OD, возможно, A и F связаны с C и D? Например, A совпадает с C, а F совпадает с D? Тогда OC=OD⇒OA=OF. И если B,O,E лежат на одной прямой, а A,O,F на другой, то углы вертикальные. Но тогда AB соединяет A(C) и B, а EF соединяет E и F(D). В треугольниках △COB и △DOE: CO=DO, BO=EO, ∠COB=∠DOE (вертикальные). Значит, △COB=△DOE. Следовательно, CB=DE. Но нам нужно AB=EF. Если A=C и F=D, то CB=DE не равно AB=EF (если только B,E не другие точки). Давайте посмотрим на другую интерпретацию. Может быть, AB и EF — это основания двух треугольников △AOB и △FOE. Если OC=OD и OB=OE, возможно, C и D лежат на лучах OA и OF соответственно, и OC=OA? Нет, просто OC=OD. В задаче про измерение ширины озера обычно делают так: Выбирают точку O. Видят берега в точках A и B (ширина AB). Построить треугольник △AOB. Затем продолжить AO за O на расстояние OC=OA и BO за O на расстояние OD=OB. Тогда △AOB=△COD, и AB=CD. Можно измерить CD на суше. В нашем условии: OC=OD и OB=OE. И нужно доказать AB=EF. Похоже, что схема немного изменена. Пусть A,O,F лежат на одной прямой, и B,O,E лежат на другой прямой. Тогда ∠AOB и ∠FOE — вертикальные углы, они равны. Если бы было дано OA=OF и OB=OE, то △AOB=△FOE по первому признаку, и AB=FE. Но дано OC=OD. Где C и D? Возможно, C лежит на OA, а D на OF? Или C и D — это сами точки A и F? Если A=C и F=D, то условие OC=OD превращается в OA=OF. Тогда все сходится: OA=OF, OB=OE, ∠AOB=∠FOE (вертикальные). Значит, △AOB=△FOE. Отсюда AB=EF. Такая трактовка наиболее логична для школьной задачи, где буквы могут путаться или C,D обозначают те же точки, что и A,F в контексте построения. Или, возможно, C и D — это точки на продолжениях, и A,B связаны с ними иначе. Однако, фраза «объяснить способ измерения ширины озера» подтверждает метод центральной симметрии. Мы находим точку O, видим точки A и B на другом берегу. Продолжаем AO до F так, чтобы OF=OA, и BO до E так, чтобы OE=OB. Тогда измеряем EF на своей стороне. Так как △AOB=△FOE, то AB=EF. В условии написано OC=OD и OB=OE. Возможно, опечатка в переписке условия, и должно быть OA=OF и OB=OE? Или C и D — это A и F? Будем исходить из того, что A и F лежат на одной прямой с O, B и E на другой, и выполняется равенство отрезков от центра: OA=OF (что соответствует OC=OD, если C=A,D=F) и OB=OE. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники △AOB и △FOE. 2. По условию (интерпретируя OC=OD как равенство соответствующих сторон OA=OF или учитывая, что C,D лежат на тех же лучах и равны удалены от O, что и A,F) имеем OA=OF. 3. По условию OB=OE. 4. Углы ∠AOB и ∠FOE являются вертикальными, следовательно, ∠AOB=∠FOE. 5. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) △AOB=△FOE. 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=EF.

Способ измерения ширины озера:

Чтобы измерить ширину озера (отрезок AB), где точки A и B находятся на противоположном берегу, выполняют следующие действия: 1. На доступном берегу выбирают точку O, из которой видны обе точки A и B. 2. Проводят луч AO и продолжают его за точку O на расстояние OF, равное OA (то есть OA=OF). 3. Проводят луч BO и продолжают его за точку O на расстояние OE, равное OB (то есть OB=OE). 4. Измеряют расстояние EF на суше с помощью рулетки или шагомера. 5. Согласно доказанному выше, ширина озера AB равна измеренному расстоянию EF.