ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 170: Примеры задач на построение

План решения:

• Используем признак равенства треугольников для доказательства равенства отрезков OK и OK₁. Для этого сначала докажем равенство треугольников AOC и BOD, а затем — треугольников AOK и BK₁O (или аналогичных).
• Для доказательства того, что точка O лежит на прямой KK₁, воспользуемся свойством вертикальных углов или признаком коллинеарности точек через равенство углов при вершине O.

Вычисление и доказательство:

а) Докажем равенство OK=OK₁.

1. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. По условию отрезки AB и CD пересекаются в общей середине O, значит, AO=BO и CO=DO. Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, следовательно, они равны. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) получаем: △AOC=△BOD Отсюда следует, что соответствующие элементы равны: AC=BD и ∠CAO=∠DBO (то есть ∠KAO=∠K₁BO).
2. Теперь рассмотрим треугольники AOK и BK₁O. В них:
   • AO=BO (так как O — середина AB);
   • AK=BK₁ (по условию задачи);
   • ∠KAO=∠K₁BO (доказано выше из равенства △AOC=△BOD).
   По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) имеем: △AOK=△BK₁O Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: OK=OK₁. Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что точка O лежит на прямой KK₁.

1. Из равенства треугольников △AOK=△BK₁O следует также равенство соответствующих углов: ∠AOK=∠BK₁O? Нет, нужно быть внимательнее с соответствием вершин. Вершины соответствуют так: A→B, O→O, K→K₁. Значит, ∠AOK=∠BOK₁.
2. Так как точки A,O,B лежат на одной прямой (отрезок AB), то угол ∠AOB является развёрнутым (180^°). Однако нам нужно рассмотреть расположение лучей OK и OK₁.
3. Заметим, что ∠AOK и ∠BOK₁ равны. Также рассмотрим углы ∠AOK и ∠KOB. Они в сумме дают ∠AOB=180^° только если K лежит внутри угла, но это не обязательно. Давайте посмотрим на вертикальные углы относительно пересечения прямых. Если мы предположим, что K,O,K₁ не лежат на одной прямой, то это противоречило бы симметрии фигуры относительно точки O (центральная симметрия). Более строгий геометрический путь: Из равенства △AOK=△BK₁O следует, что ∠AOK=∠BOK₁. Так как A,O,B лежат на одной прямой, то лучи OA и OB противоположны. Если луч OK образует угол α с лучом OA, то луч OK₁ образует угол α с лучом OB. Поскольку лучи OA и OB направлены в противоположные стороны, а углы отложены «внутрь» соответствующих треугольников (которые находятся по разные стороны от центра O в силу центральной симметрии △AOC и △BOD), то лучи OK и OK₁ являются дополнительными друг к другу до развёрнутого угла. То есть сумма углов ∠AOK+∠KOB=180^°. Но ∠KOB=180^°-∠AOK. А мы знаем, что ∠BOK₁=∠AOK. Значит, ∠KOK₁=∠KOB+∠BOK₁=(180^{°-∠AOK)+∠AOK=180°}. Следовательно, угол ∠KOK₁ является развёрнутым, что означает, что точки K,O,K₁ лежат на одной прямой.

Проверка:

Логика опирается на стандартные признаки равенства треугольников и свойства вертикальных/смежных углов. Центральная симметрия относительно точки O гарантирует, что любой отрезок, соединяющий симметричные точки (как K и K₁ относительно центра O, если бы они были симметричны напрямую), проходит через центр. Здесь симметрия установлена через промежуточные равные треугольники. Результат корректен.