ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 167: Примеры задач на построение

План решения.

Для доказательства равенства углов и отрезков в обоих пунктах будем использовать признак равенства треугольников. Нам дан равнобедренный треугольник ADE с основанием DE, что означает равенство боковых сторон AD=AE и равенство углов при основании δADE=δAED. Точки B и C лежат на прямой, содержащей основание DE. В пункте а) нам дано равенство внешних (или внутренних, в зависимости от чертежа, но обычно для таких задач точки расположены так, что образуют новые треугольники с вершиной A) отрезков BD=CE. Нужно доказать равенство треугольников ABD и ACE или ADC и AEB. Рассмотрим вариант, когда точки B и C находятся вне отрезка DE симметрично относительно середины основания, либо внутри него. Судя по стандартным задачам такого типа, чаще всего рассматриваются треугольники ABD и ACE (если B и C снаружи) или ADC и AEB. Однако, чтобы доказать равенство δCAD и δBAE, удобнее рассмотреть треугольники ADC и AEB. Но давайте посмотрим внимательнее: нужно доказать равенство углов CAD и BAE. Это углы при вершине A. Если мы докажем равенство треугольников ADC и AEB, то получим искомые углы и стороны AC=AB. Для этого нужны три элемента. У нас есть AD=AE (из условия равнобедренности). Угол δADC смежный с δADE? Нет, если C лежит на продолжении DE, то угол δADC может быть тупым. Обычно в таких задачах подразумевается, что B и C лежат на прямой DE. Допустим, порядок точек B-D-E-C или D-B-C-E. Давайте предположим наиболее общий случай для школьной геометрии: точки B и C расположены на прямой DE так, что BD=CE. Тогда рассмотрим треугольники ABD и ACE. Они равны по двум сторонам и углу между ними? Нет, угол не известен. Рассмотрим треугольники ADC и AEB. Сторона AD=AE. Сторона DC=DE+EC (если C снаружи справа) и EB=ED+DB (если B снаружи слева). Так как DB=EC, то DC=EB. Угол δADC и δAEB? Если треугольник ADE равнобедренный, то углы при основании δD и δE равны. Если точки B и C лежат на продолжениях основания за пределы отрезка DE, то внешние углы δADC и δAEB также равны (как смежные с равными внутренними углами). Таким образом, треугольники ADC и AEB равны по первому признаку (две стороны и угол между ними). Из их равенства следует AC=AB и δDAC=δEAB. Что и требовалось доказать для пункта а).

Вычисление и доказательство.

а) Дано: △ADE — равнобедренный (AD=AE), BD=CE. Требуется доказать: δCAD=δBAE и AB=AC. 1. Так как △ADE равнобедренный с основанием DE, то его углы при основании равны: δADE=δAED. 2. Рассмотрим углы δADC и δAEB. Предположим, что точки B и C лежат на прямой DE вне отрезка DE (стандартная конфигурация для таких задач, где BD и CE — «крылья»). Тогда δADC=180^°-δADE и δAEB=180^°-δAED. Поскольку δADE=δAED, то δADC=δAEB. *Примечание:* Если точки B и C лежат внутри отрезка DE, то рассматриваем треугольники ADB и AEC. Тогда δADB=δAEC (так как это те же самые углы при основании). И BD=CE по условию. Тогда △ADB=△AEC по второму признаку (сторона AD=AE, угол δD=δE, сторона BD=CE). Из равенства этих треугольников следует AB=AC и δDAB=δEAC. Тогда δBAE=δBAD+δDAE и δCAD=δCAE+δEAD. Так как δBAD=δCAE, то δBAE=δCAD. Этот путь более универсален и не требует допущения о расположении точек снаружи. Используем этот путь. 3. Рассмотрим △ABD и △ACE. - AD=AE (боковые стороны равнобедренного △ADE). - δADB=δAEC (углы при основании равнобедренного треугольника). - BD=CE (по условию задачи). 4. Следовательно, △ABD=△ACE по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними). 5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: - AB=AC (что и требовалось доказать). - δBAD=δCAE. 6. Теперь докажем равенство углов δCAD и δBAE. - δCAD=δCAE+δEAD. - δBAE=δBAD+δDAE. - Так как δCAE=δBAD (доказано выше) и δEAD=δDAE (общий угол), то δCAD=δBAE.

б) Дано: △ADE — равнобедренный (AD=AE), δCAD=δBAE. Требуется доказать: BD=CE и AB=AC. 1. Запишем равенство углов через части: δCAD=δCAE+δEAD и δBAE=δBAD+δDAE. 2. По условию δCAD=δBAE. Вычтем из обеих частей равный им угол δDAE (он же δEAD): δCAD-δDAE=δBAE-δDAE Получаем: δCAE=δBAD. 3. Рассмотрим △ABD и △ACE. - δBAD=δCAE (доказано на шаге 2). - AD=AE (боковые стороны равнобедренного △ADE). - δADB=δAEC (углы при основании равнобедренного треугольника). 4. Следовательно, △ABD=△ACE по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих к ней угла). 5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: - AB=AC (что и требовалось доказать). - BD=CE (что и требовалось доказать).

Проверка.

В обоих случаях логика опирается на фундаментальные свойства равнобедренного треугольника и признаки равенства треугольников. Пункт а) использует первый признак (С-У-С), пункт б) — второй признак (У-С-У). Равенство углов при вершине A корректно выводится через сложение/вычитание общего угла δDAE. Все шаги обоснованы аксиомами и теоремами курса геометрии 7 класса.