ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 165: Примеры задач на построение

План решения.

Для доказательства пункта а) рассмотрим произвольную точку M на прямой a. Обозначим середину отрезка AB за точку O. Так как прямая a перпендикулярна AB, то треугольники AOM и BOM являются прямоугольными. Нам нужно доказать равенство этих треугольников по двум катетам, что позволит сделать вывод о равенстве гипотенуз AM и BM.

Для доказательства пункта б) возьмём произвольную точку C, равноудалённую от A и B (то есть AC=BC). Проведём из точки C высоту CO′ к прямой AB. Докажем, что точка O′ совпадает с серединой O отрезка AB, используя свойства равнобедренного треугольника или равенство прямоугольных треугольников. Тогда прямая CO′ будет проходить через середину AB и быть перпендикулярной ему, то есть совпадать с прямой a.

Вычисление и доказательства.

а) Пусть M — любая точка прямой a. Соединим её с концами отрезка AB. Рассмотрим △AOM и △BOM:

• AO=OB, так как O — середина отрезка AB (по условию);
• OM — общая сторона;
• ∠AOM=∠BOM=90^°, так как a⊥AB.

Следовательно, △AOM=△BOM по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=BM. Это означает, что каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B.

б) Пусть C — точка, такая что CA=CB. Опустим из точки C перпендикуляр CH на прямую AB (H — основание перпендикуляра). Рассмотрим △AHC и △BHC:

• AC=BC (по условию равноудалённости);
• CH — общий катет;
• ∠AHC=∠BHC=90^°.

Значит, △AHC=△BHC по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Отсюда следует, что AH=HB. То есть точка H является серединой отрезка AB. Поскольку прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему, а прямая CH также проходит через середину H и перпендикулярна AB, то точка C лежит на прямой a.

Проверка.

Логика доказательств опирается на фундаментальные признаки равенства треугольников. В пункте а) мы показали, что геометрическое место точек, удовлетворяющих условию перпендикулярности и прохождения через середину, обладает свойством равноудалённости. В пункте б) мы показали обратное: если точка обладает свойством равноудалённости, то проекция этой точки на отрезок делит его пополам, что однозначно определяет положение точки на единственной прямой, проходящей через эту середину под прямым углом. Оба утверждения верны и взаимно дополняют друг друга, формируя определение серединного перпендикуляра.