ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 166: Примеры задач на построение

План решения.

Чтобы доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁, нам нужно установить равенство их соответствующих элементов. Так как медианы делят стороны пополам, мы можем сначала рассмотреть вспомогательные треугольники ABM и A₁B₁M₁. Если мы докажем их равенство, то получим равенство сторон AB=A₁B₁ и углов при вершине A. Аналогично можно поступить с другой половиной основания или использовать свойства медиан для нахождения третьей стороны. Однако более прямой путь: доказать равенство треугольников ABM и A₁B₁M₁, а затем треугольников ACM и A₁C₁M₁ (или использовать найденные элементы для доказательства равенства исходных треугольников по трём сторонам или двум сторонам и углу).

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁. 1. По условию задачи медиана AM равна медиане A₁M₁: AM=A₁M₁. 2. По условию задача основание BC равно основанию B₁C₁: BC=B₁C₁. Так как M и M₁ — середины этих отрезков (так как AM и A₁M₁ — медианы), то половинки этих оснований также равны: BM=1/2BC и B₁M₁=1/2B₁C₁. Следовательно, BM=B₁M₁. 3. По условию угол ∠AMB равен углу ∠A₁M₁B₁: ∠AMB=∠A₁M₁B₁. Таким образом, в треугольниках ABM и A₁B₁M₁ две стороны и угол между ними соответственно равны (AM=A₁M₁, BM=B₁M₁, ∠AMB=∠A₁M₁B₁). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что: △ABM=△A₁B₁M₁ Из этого равенства вытекает равенство соответствующих сторон и углов: AB=A₁B₁ ∠BAM=∠B₁A₁M₁ Теперь рассмотрим треугольники ACM и A₁C₁M₁. 1. Медианы равны: AM=A₁M₁ (дано). 2. Половины оснований равны: MC=1/2BC=1/2B₁C₁=M₁C₁. 3. Углы при медиане смежные с данными. Так как ∠AMB=∠A₁M₁B₁, а углы ∠AMC и ∠AMB составляют развёрнутый угол (180^°), то: ∠AMC=180^°-∠AMB ∠A₁M₁C₁=180^°-∠A₁M₁B₁ Следовательно, ∠AMC=∠A₁M₁C₁. По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними): △ACM=△A₁C₁M₁ Отсюда следует равенство соответствующих сторон: AC=A₁C₁ Теперь вернёмся к исходным треугольникам ABC и A₁B₁C₁. Мы установили, что: 1. AB=A₁B₁ (доказано выше) 2. AC=A₁C₁ (доказано выше) 3. BC=B₁C₁ (дано по условию) По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) заключаем, что: △ABC=△A₁B₁C₁

Проверка.

Логика построения цепочки доказательств корректна. Сначала через равенство малых треугольников (ABM и A₁B₁M₁) найдено равенство боковой стороны AB. Затем через смежные углы и вторую половину основания доказано равенство второго малого треугольника (ACM и A₁C₁M₁), откуда найдено равенство второй боковой стороны AC. Имея три пары равных сторон (AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, BC=B₁C₁), мы применили третий признак равенства треугольников. Все шаги опираются только на данные условия и аксиомы геометрии, противоречий нет.