ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 175: Примеры задач на построение

План решения:

Для доказательства равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ воспользуемся признаками равенства треугольников. Согласно условию, нам даны две пары равных элементов: сторона AB=A₁B₁ и угол ∠A=∠A₁. Также известно равенство биссектрис AD=A₁D₁. Поскольку биссектриса делит угол пополам, мы можем получить дополнительные равные углы внутри треугольников. Логично начать с рассмотрения меньших треугольников ABD и A₁B₁D₁, чтобы найти связь между остальными элементами больших треугольников.

Вычисление и доказательство:

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁.
1. По условию задачи AB=A₁B₁.
2. Так как AD — биссектриса угла A, то ∠BAD=1/2∠A. Аналогично для второго треугольника: A₁D₁ — биссектриса угла A₁, поэтому ∠B₁A₁D₁=1/2∠A₁. Поскольку по условию ∠A=∠A₁, то и их половины равны: ∠BAD=∠B₁A₁D₁.
3. По условию AD=A₁D₁.

Таким образом, в треугольниках ABD и A₁B₁D₁ равны две стороны и угол между ними (AB=A₁B₁, AD=A₁D₁, ∠BAD=∠B₁A₁D₁). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что △ABD=△A₁B₁D₁.

Из равенства этих треугольников вытекает равенство соответствующих сторон и углов:
BD=B₁D₁;
∠B=∠B₁ (так как это соответствующие углы при вершинах B и B₁).

Теперь вернемся к исходным треугольникам ABC и A₁B₁C₁. У нас есть:
1. Сторона AB=A₁B₁ (дано);
2. Угол ∠A=∠A₁ (дано);
3. Угол ∠B=∠B₁ (доказано выше из равенства △ABD=△A₁B₁D₁).

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Проверка:

Логика вывода последовательна: сначала через данные элементы (сторона, половина угла, биссектриса) доказывается равенство вспомогательных треугольников, что дает недостающий элемент (угол B) для доказательства равенства основных треугольников по известному признаку. Все шаги опираются на аксиомы и теоремы геометрии курса 7 класса.