ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 267: Признаки равенства прямоугольных треугольников

План решения.

Нам даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, в которых углы при вершинах A и A₁ являются прямыми. Также известно, что отрезки BD и B₁D₁ — это биссектрисы углов B и B₁ соответственно. Условие задачи гласит, что "angleB="angleB₁ и длины биссектрис равны: BD=B₁D₁. Наша цель — доказать равенство исходных треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Логика доказательства будет строиться на последовательном применении признаков равенства прямоугольных треугольников. Сначала мы рассмотрим вспомогательные прямоугольные треугольники ABD и A₁B₁D₁, образованные биссектрисами. Доказав их равенство, мы найдем связь между сторонами или углами больших треугольников, что позволит завершить доказательство для ABC и A₁B₁C₁.

Ход вычислений и доказательств.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. 1) По условию "angleA=90^° и "angleA₁=90^°, значит, эти треугольники являются прямоугольными. 2) Так как BD и B₁D₁ — биссектрисы углов B и B₁, то они делят эти углы пополам. Следовательно, "angleABD=1/2"angleB и "angleA₁B₁D₁=1/2"angleB₁. 3) Поскольку по условию "angleB="angleB₁, то и их половины равны: "angleABD="angleA₁B₁D₁. 4) Гипотенузы этих прямоугольных треугольников равны по условию: BD=B₁D₁.

Таким образом, в прямоугольных треугольниках ABD и A₁B₁D₁ равны острые углы ("angleABD="angleA₁B₁D₁) и гипотенузы (BD=B₁D₁). По второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу) следует, что "triangleABD="triangleA₁B₁D₁.

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих катетов: AB=A₁B₁.

Теперь вернемся к исходным треугольникам ABC и A₁B₁C₁: 1) Они являются прямоугольными ("angleA="angleA₁=90^°). 2) Мы только что доказали, что катеты AB и A₁B₁ равны. 3) По условию задачи острые углы "angleB и "angleB₁ равны.

Следовательно, прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

Проверка результата.

Давайте убедимся в логической цепочке. Мы использовали данные условия: прямые углы, равенство полных углов B и B₁, равенство биссектрис. Из равенства полных углов автоматически следует равенство половин углов, которые являются углами в малых треугольниках ABD и A₁B₁D₁. Равенство гипотенуз малых треугольников позволяет применить признак «гипотенуза и острый угол». Это дает нам равенство катета AB катету A₁B₁. Теперь у нас есть катет и прилежащий острый угол для больших треугольников, что является достаточным условием для их равенства. Все шаги обоснованы теоремами геометрии за 7–8 класс.