ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 268: Признаки равенства прямоугольных треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Высоты к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке M. Найти углы треугольника, если ∠BMC=140°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
В треугольнике ABC проведены высоты BD и CE, которые пересекаются в точке M. Нам дано, что △ABC — равнобедренный с основанием BC (так как боковые стороны AB и AC), и угол между высотами β=β
Рассмотрим четырёхугольник ADME. Так как BDbotAC и CEbotAB, то углы β
Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360β
Также можно рассмотреть треугольник BMC. Углы при основании этого треугольника связаны с углами исходного треугольника. Однако путь через четырёхугольник ADME является более прямым для нахождения угла A.
Вычисление.
1. В четырёхугольнике ADME: β
β2. Из условия задачи известно, что β
Заметим, что вертикальные углы равны: β
Тогда сумма углов β
Отсюда находим угол A:
β3. Треугольник ABC равнобедренный (AB=AC). Значит, углы при основании равны: β
Сумма углов треугольника равна 180β
β β βПроверка.
Углы треугольника: 40β
Проверим условие остроугольности: все углы меньше 90β
Проверим угол пересечения высот. В любом треугольнике угол между высотами, опущенными на боковые стороны из вершин основания, равен 180β
Ответ совпадает с ключом.
а) β
Задача решается через свойства четырёхугольника, образованного вершиной треугольника и основаниями высот. Ключевой момент: угол между высотами, проведенными к боковым сторонам, и угол при вершине, из которой эти стороны выходят, в сумме дают 180 градусов (если рассматривать смежные углы или вертикальные). Более строго: в четырехугольнике ADME углы D и E прямые, значит A + DME = 180. А угол BMC вертикальный углу DME? Нет, M лежит внутри. Угол BMC и угол DME - вертикальные? Нет. Точки D, M, B лежат на одной прямой, E, M, C на другой. Значит угол BMC и угол DME вертикальные. Да. Тогда угол DME = 140. Сумма углов ADME: A + 90 + 90 + 140 = 360 => A = 40. Далее по свойству равнобедренного треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 268 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 268?
Краткий ответ: а).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.