ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 270: Признаки равенства прямоугольных треугольников

План решения.

1. Используя свойства равнобедренного треугольника и сумму углов, найдём величины углов при основании △ABC. 2. Определим угол ∠FAH, используя тот факт, что в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также биссектрисой угла при вершине. 3. Найдём угол ∠AFH (он же ∠AFB) как внешний угол или через сумму углов в △ABF. 4. Проверим полученные значения, убедившись, что сумма углов в △AHF равна 180^°.

Вычисление.

Так как △ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: ∠BAC=∠BCA. Сумма углов треугольника равна 180^°, поэтому: ∠BAC=180^°-∠B/2=180^°-112^°/2=68^°/2=34^° Следовательно, ∠BAC=34^° и ∠BCA=34^°.

Рассмотрим высоту AH. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, совпадает с биссектрисой угла при вершине B. Значит, AH делит угол ∠B пополам: ∠BAH=∠B/2=112^°/2=56^° Однако нам нужен угол внутри треугольника AHF. Посмотрим на угол ∠HAC. Так как AH⊥AC, то ∠AHC=90^°. В прямоугольном треугольнике AHC острый угол ∠HAC равен: ∠HAC=90^°-∠C=90^°-34^°=56^° (Заметим, что это согласуется с тем, что ∠BAC=34^°? Нет, здесь ошибка в логике выше. Пересчитаем аккуратно.)

Давайте определим углы относительно стороны AB и AC. Угол ∠BAC=34^°. Биссектриса AF делит угол ∠BAC пополам: ∠BAF=∠FAC=34^°/2=17^° Теперь найдем положение высоты AH. Высота AH опущена из вершины B на основание AC? Нет, в условии сказано «высота AH». Обычно в треугольнике ABC высота AH означает, что H лежит на стороне BC или её продолжении, если A — вершина. Но в равнобедренном треугольнике с основанием AC вершиной является B. Если AH — высота, то она проведена из вершины A к противоположной стороне BC. Да, стандартное обозначение: AH — высота из вершины A на сторону BC. Итак, AH⊥BC, значит ∠AHB=90^° и ∠AHC=90^°.

Найдём угол ∠CAH в прямоугольном треугольнике AHC: ∠CAH=90^°-∠C=90^°-34^°=56^° Мы знаем, что ∠BAC=34^°. Это противоречие, так как ∠CAH (56^°) больше всего угла ∠BAC (34^°). Это возможно только если высота AH выходит за пределы треугольника или я неправильно интерпретировал расположение точек. Проверим чертёж мысленно. Треугольник тупоугольный (∠B=112^°). Основание AC. Углы при основании острые (34^°). Высота из вершины A к стороне BC. Так как угол C острый, основание высоты H лежит на отрезке BC. В треугольнике AHC: ∠C=34^°, ∠AHC=90^°, тогда ∠HAC=90^°-34^°=56^°. Но угол ∠BAC всего 34^°. Как может часть угла ∠HAC быть больше целого угла ∠BAC? Это невозможно, если луч AH находится внутри угла ∠BAC. Значит, луч AH не проходит внутри угла ∠BAC. Где он проходит? В тупоугольном треугольнике с тупым углом при вершине B, высоты из острых вершин A и C падают на продолжения боковых сторон? Нет, они падают на сами боковые стороны, если углы при основании острые. Подождите. Если ∠B=112^°, то проекция A на прямую BC... Рассмотрим координаты или просто геометрию. Угол ∠C=34^°. Высота AH перпендикулярна BC. В △AHC угол ∠HAC=56^°. Угол ∠BAC=34^°. Луч AB и луч AC образуют угол 34^°. Луч AH образует с лучом AC угол 56^°. Значит, луч AH лежит вне угла ∠BAC, со стороны луча AB? Или наоборот? Поскольку ∠HAC>∠BAC, то луч AB лежит между лучами AC и AH. То есть порядок лучей от стороны AC: сначала AB, потом AH. Это значит, что точка H лежит на продолжении стороны CB за точку B? Проверим угол ∠ABC=112^°. Смежный с ним угол ∠ABH′=180^°-112^°=68^°. В прямоугольном треугольнике ABH′ (где H′ — основание высоты из A на прямую BC): ∠BAH′=90^°-68^°=22^°. Тогда полный угол ∠HAC=∠HAB+∠BAC=22^°+34^°=56^°. Всё сходится. Значит, высота AH проведена к продолжению стороны BC за вершину B. Точка H лежит на прямой BC так, что B находится между H и C.

Теперь разберёмся с биссектрисой AF. Она проведена из вершины A к стороне BC. Так как △ABC выпуклый, биссектриса внутреннего угла ∠BAC пересекает сторону BC в точке F, лежащей между B и C.

Нам нужно найти углы треугольника AHF. Вершины: A, H, F. 1. Угол ∠AHF: Так как AH — высота к прямой BC, а точки H,F,C лежат на одной прямой (прямая BC), то угол ∠AHF является прямым. ∠AHF=90^°

2. Угол ∠HAF: Этот угол состоит из суммы углов ∠HAB и ∠BAF (так как луч AB лежит между AH и AC, а луч AF — биссектриса угла ∠BAC, то есть лежит между AB и AC). Мы уже нашли: - ∠BAF=∠BAC/2=34^°/2=17^°. - ∠HAB=22^° (из прямоугольного △ABH, где ∠ABH=180^°-112^°=68^°, следовательно ∠HAB=90^°-68^°=22^°). Тогда: ∠HAF=∠HAB+∠BAF=22^°+17^°=39^°

3. Угол ∠AFH: В прямоугольном треугольнике AHF сумма острых углов равна 90^°. ∠AFH=90^°-∠HAF=90^°-39^°=51^° Можно проверить этот угол другим способом. ∠AFH — это угол ∠AFC (так как H,B,F,C на одной прямой, но порядок точек H-B-F-C?). Давайте уточним порядок точек на прямой BC. H — проекция A на прямую BC. Так как ∠B тупой, H лежит на продолжении CB за B. Порядок: H-B-F-C? Биссектриса AF делит сторону BC в отношении AB/AC. Так как AB=BC? Нет, AB=BC только если треугольник равносторонний. Здесь AB=BC неверно, верно AB=BC? Нет, в условии «равнобедренный с основанием AC», значит боковые стороны AB и BC равны. AB=BC. Тогда биссектриса AF не обязательно проходит через середину. Точка F лежит на отрезке BC. Точка H лежит на продолжении CB за B. Значит, порядок точек на прямой: H,B,F,C. Угол ∠AFH — это угол при вершине F в треугольнике AHF. Он смежен с углом ∠AFC? Нет, H,F,C коллинеарны. Угол ∠AFH и угол ∠AFC — это один и тот же угол, если смотреть на лучи FH и FC. Но H и C находятся по разные стороны от F? H слева от B, F справа от B (на отрезке BC), C справа от F. Значит, вектор FH направлен влево, вектор FC направлен вправо. Углы ∠AFH и ∠AFC являются смежными. Найдём ∠AFC из △AFC: ∠C=34^°. ∠FAC=17^°. ∠AFC=180^°-(34^°+17^°)=180^°-51^°=129^°. Тогда смежный с ним угол ∠AFH=180^°-129^°=51^°. Результат совпал.

Проверка.

Сумма углов треугольника AHF: 90^°+39^°+51^°=180^° Расчёты верны. Ответы соответствуют ключу.