ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 272

План решения.

Для доказательства равенства двух остроугольных треугольников по заданным элементам (стороне и двум высотам к её концам) воспользуемся признаками равенства прямоугольных треугольников. Сначала докажем равенство углов при основании общей стороны, а затем применим второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Ход доказательства.

Пусть даны два остроугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁. По условию:

• AB=A₁B₁;
• CC₁ — высота из вершины C на сторону AB, C₁H₁ — высота из вершины C₁ на сторону A₁B₁ (обозначим основания высот как H и H₁ соответственно для ясности, хотя в условии сказано «высоты, проведённые из концов этой стороны», что обычно означает высоты, опущенные на эту сторону или из вершин, лежащих напротив концов? Уточним формулировку: «высоты, проведённые из концов этой стороны». В стандартной геометрии высота проводится из вершины. Если речь о сторонах AC и BC как о высотах? Нет, это стороны. Скорее всего, имеются в виду высоты h_a и h_b, опущенные на стороны BC и AC? Или высоты, проведенные из вершин A и B к противоположным сторонам?
  Перечитаем внимательно: «сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны». Это нестандартная формулировка. Обычно говорят «высота, опущенная на сторону». Если высоты проведены из концов стороны AB, то это высоты AA′ к BC и BB′ к AC. Но тогда они не связаны напрямую с основанием AB простым прямоугольным треугольником внутри.
  Однако, часто в задачах такого типа под «высотами, проведёнными из концов стороны» могут подразумевать отрезки перпендикуляров, опущенных из концов стороны на прямую, содержащую третью сторону? Нет.
  Давайте рассмотрим наиболее вероятную интерпретацию для школьного курса: дана сторона c (AB). Из концов этой стороны проведены высоты к другим сторонам? Или же это высоты, опущенные на эту сторону? Фраза «проведённые из концов» грамматически указывает на начало отрезка. То есть высота h_a из вершины A и высота h_b из вершины B. Но если дана сторона AB, то высоты из A и B идут к сторонам BC и AC. Это сложно связать с равенством углов при A и B напрямую через один прямоугольный треугольник.
  Альтернативная интерпретация: Возможно, имеется в виду, что даны проекции? Нет.
  Посмотрим на указание: «Сначала доказать, что углы, прилежащие к равным сторонам... равны». Это значит, мы должны найти связь между стороной AB, высотой из C (опущенной на AB?) и углами A и B. Но в условии сказано «высоты, проведённые из концов этой стороны».
  Если это опечатка в переписке условия и имелось в виду «высота, опущенная на эту сторону», то задача решается через площадь или тригонометрию. Но там две высоты.
  Рассмотрим вариант: Дана сторона AB. Проведены высоты CH (из C на AB)? Нет, «из концов».
  Возможно, речь идет о том, что из концов стороны AB проведены перпендикуляры к прямой, проходящей через третью вершину? Нет.
  Давайте предположим, что условие подразумевает: дана сторона AB, и даны длины высот, опущенных из вершин A и B на противоположные стороны BC и AC. Обозначим их h_a и h_b. Тогда в прямоугольном треугольнике ABK (где K — основание высоты из B на AC) гипотенуза AB известна, катет BK=h_b известен. Значит, △ABK△A₁B₁K₁ равны по гипотенузе и катету. Отсюда следует равенство угла A (так как △ABK содержит угол A только если треугольник остроугольный и высота падает внутрь? Да, для остроугольного треугольника основание высоты лежит на стороне).
  Аналогично для высоты h_a: в △BAL (основание высоты из A на BC) гипотенуза AB, катет AL=h_a. Треугольники равны, значит угол B равен углу B₁.
  Таким образом, у нас есть сторона AB=A₁B₁ и прилежащие к ней углы △A=△A₁ и △B=△B₁. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) треугольники равны.
  Эта логика идеально подходит под указание «доказать, что углы прилежащие... равны».

Итак, пусть в △ABC и △A₁B₁C₁ дано: AB=A₁B₁, h_a=h_a1 (высота из A на BC), h_b=h_b1 (высота из B на AC).

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABL и A₁B₁L₁, где L и L₁ — основания высот, опущенных из вершин A и A₁ на стороны BC и B₁C₁ соответственно.
   Так как треугольники остроугольные, точки L и L₁ лежат на сторонах BC и B₁C₁.
   В этих треугольниках:
   - Гипотенузы AB=A₁B₁ (по условию);
   - Катеты AL=A₁L₁ (так как h_a=h_a1 по условию).
   Следовательно, △ABL=△A₁B₁L₁ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).
   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих острых углов: △LBA=△L₁B₁A₁, то есть △B=△B₁.
2. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники BKM и B₁K₁M₁, где K и K₁ — основания высот, опущенных из вершин B и B₁ на стороны AC и A₁C₁ соответственно.
   В этих треугольниках:
   - Гипотенузы AB=A₁B₁ (по условию);
   - Катеты BK=B₁K₁ (так как h_b=h_b1 по условию).
   Следовательно, △ABK=△A₁B₁K₁ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).
   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих острых углов: △KAB=△K₁A₁B₁, то есть △A=△A₁.
3. Вернемся к исходным треугольникам ABC и A₁B₁C₁.
   Мы доказали, что:
   - AB=A₁B₁ (дано);
   - △A=△A₁ (доказано в п.2);
   - △B=△B₁ (доказано в п.1).
   Таким образом, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Проверка.

Логика построения корректна для остроугольных треугольников, так как основания высот падают на сами стороны, образуя прямоугольные треугольники с общей гипотенузой (данной стороной). Если бы треугольники были тупоугольными, основания высот могли бы лежать на продолжениях сторон, но структура доказательства через равенство прямоугольных треугольников сохранилась бы, однако указание на «остроугольность» гарантирует однозначное расположение элементов и простоту вывода равенства углов непосредственно как внутренних углов исходного треугольника.