ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 275

План решения.

Нам нужно построить прямую, проходящую через точку A, которая пересекает стороны угла в точках B и C так, чтобы отрезки OB=OC (где O — вершина угла). Если такие отрезки равны, то треугольник OBC является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой. Следовательно, искомая прямая должна быть перпендикулярна биссектрисе угла O. Однако она обязана проходить через фиксированную точку A. Мы можем использовать свойство симметрии: если отражать точку A относительно биссектрисы угла, то любая прямая, проходящая через исходную точку A и её образ A′, будет обладать определёнными свойствами относительно сторон угла. Но более простой путь — рассмотреть обратную задачу или использовать вспомогательное построение.

Пошаговое вычисление и построение.

1. Проведём биссектрису данного угла. Пусть это будет луч OK.
2. Отразим точку A относительно биссектрисы OK. Для этого опустим из точки A перпендикуляр на биссектрису, найдём его основание H и продолжим этот перпендикуляр за точку H на расстояние, равное AH. Получим точку A′. Теперь точка A′ симметрична точке A относительно биссектрисы угла.
3. Соединим точку A′ с вершиной угла O прямой линией. Эта линия пересечёт одну из сторон угла в некоторой точке, но нам нужна другая конструкция. Давайте переосмыслим указание учебника «воспользоваться задачей 138». Обычно задача 138 в таких сборниках связана с построением отрезка, концы которого лежат на двух данных прямых, а середина — на третьей, или подобными задачами на симметрию.
   Более надёжный геометрический подход для случая «отсекаемые отрезки равны» (OB=OC):
   Если OB=OC, то треугольник OBC равнобедренный. Значит, проекция точки A на стороны угла не обязательно равна, но сама прямая BC перпендикулярна биссектрисе угла только в том случае, если A лежит на биссектрисе. В общем случае это неверно.
   Давайте используем метод подобия или координатную идею, переведённую в геометрию. Пусть искомая прямая пересекает стороны угла в точках B и C. Условие OB=OC означает, что точки B и C равноудалены от вершины O. Это значит, что они лежат на одной окружности с центром O. Прямая BC — хорда этой окружности. Точка A лежит на этой хорде.
   Рассмотрим симметрию относительно биссектрисы угла. Пусть B переходит в C при отражении относительно биссектрисы (так как OB=OC и углы при основании равны? Нет, углы между сторонами угла и биссектрисой равны по определению биссектрисы. Если мы возьмём точку B на одной стороне, то её отражение B′ относительно биссектрисы попадёт точно на другую сторону угла, причём OB′=OB. Таким образом, условие OB=OC эквивалентно тому, что точка C является отражением точки B относительно биссектрисы угла.
   Значит, искомая прямая проходит через точку A и соединяет две точки B и C, которые симметричны относительно биссектрисы. Это возможно только если прямая BC перпендикулярна биссектрисе? Нет. Если B и C симметричны относительно оси l (биссектрисы), то отрезок BC перпендикулярен оси l и делится ею пополам. Следовательно, искомая прямая должна быть перпендикулярна биссектрисе угла .
4. Итак, ключевой вывод: искомая прямая перпендикулярна биссектрисе угла. Но она должна проходить через точку A. Построим прямую, проходящую через точку A и перпендикулярную биссектрисе угла. Пусть эта прямая пересекает стороны угла в точках B и C.

Проверка.

Пусть проведена биссектриса угла O. Через точку A проведена прямая l, перпендикулярная биссектрисе. Пусть l пересекает стороны угла в точках B и C. Рассмотрим треугольники OMB и OMC, где M — точка пересечения прямой l и биссектрисы. В этих треугольниках: угол MOB равен углу MOC (так как OM — биссектриса), сторона OM общая, углы OMB и OMC равны 90^° (так как l⊥OM). По второму признаку равенства треугольников (по катету и острому углу) треугольники OMB и OMC равны. Следовательно, гипотенузы OB и OC равны. Условие выполнено.