ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 278

Для решения задачи проанализируем свойства медианы и высоты в прямоугольном треугольнике ABC. Нам дано, что угол C=90^o, а один из острых углов равен 15^o. Пусть △ABC — прямоугольный с гипотенузой AB, медианой CM и высотой CH. Известно, что CH=4. Нужно найти длину гипотенузы AB.

Вспомним важное свойство медианы, проведенной к гипотенузе: она равна половине гипотенузы. То есть CM=1/2AB. Следовательно, если мы найдем длину отрезка CM, то сможем легко вычислить AB по формуле AB=2CM.

Рассмотрим треугольник CBM. Так как CM — медиана к гипотенузе, то точка M является центром описанной окружности вокруг △ABC, и MA=MB=MC. Треугольник BMC является равнобедренным (MB=MC). Угол при вершине B (или A, в зависимости от того, какой угол равен 15^o) определяет углы при основании этого равнобедренного треугольника. Однако более простой путь — рассмотреть внешний угол или использовать свойства угла между медианой и стороной. Давайте определим углы. Пусть △ABC имеет углы 90^o,15^o,75^o. Без ограничения общности считаем, что △A — меньший угол, то есть △CAB=15^o, тогда △CBA=75^o. Так как CM=MA, то △AMC — равнобедренный. Значит, △MCA=△MAC=15^o. Тогда угол △BMC является внешним для △AMC: △BMC=△MAC+△MCA=15^o+15^o=30^o. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHM (так как CH — высота, то △CHM=90^o). В этом треугольнике нам известен катет CH=4 и угол △HMC=30^o. Гипотенуза этого маленького треугольника — это отрезок CM. По определению синуса: △HMC=CH/CM △30^o=4/CM Так как △30^o=1/2, получаем: 1/2=4/CM→CM=8

Мы нашли, что медиана CM=8. Вспомним, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине самой гипотенузы: CM=1/2AB Отсюда: AB=2×CM=2×8=16 Проверка логики: Если бы угол был 75^o у основания A, то △AMC имел бы углы 75^o,75^o, и внешний угол △BMC был бы 150^o, что невозможно для внутреннего угла прямоугольного треугольника CHM (где угол при M должен быть острым, так как он часть прямого угла или связан с ним). Но даже если перепутать стороны, симметрия задачи такова, что угол между медианой и высотой всегда равен разности острых углов треугольника: |75^o-15^o|=60^o? Нет, давайте проверим другой случай. Если △B=15^o, то △MBC равнобедренный с углом 15^o при основании? Нет, MB=MC, значит △MCB=△MBC=15^o. Тогда внешний угол △AMC=30^o. В треугольнике CHM угол при M будет 30^o. Расчет идентичен. Таким образом, независимо от того, какой именно острый угол равен 15^o, угол между медианой и высотой (внутри соответствующего прямоугольного треугольника CHM) оказывается равным 30^o. Ответ верен.