ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 277

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и центральных углов окружности. Нам дано, что две вершины треугольника являются концами диаметра, а третья лежит на самой окружности. Это означает, что сторона, соединяющая концы диаметра, является хордой, проходящей через центр, то есть диаметром. Угол при третьей вершине является вписанным углом, опирающимся на этот диаметр. Наша цель — доказать, что величина этого угла равна 90^°, что и будет означать прямоугольность треугольника.

Ход вычислений и рассуждений.

Пусть треугольник ABC вписан в окружность с центром O. По условию, отрезок AB является диаметром окружности, значит, точка O лежит на стороне AB. Точка C лежит на окружности.

Рассмотрим угол ACB. Он является вписанным углом, который опирается на дугу AB. Так как AB — диаметр, он делит окружность на две полуокружности. Величина дуги полуокружности равна 180^° (или 2π радиан).

Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно:

Так как один из углов треугольника равен 90^°, то по определению этот треугольник является прямоугольным.

Проверка результата.

Можно также рассмотреть этот вопрос через призму центрального угла. Центральный угол AOB развернутый (180^°). Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB. Свойство «вписанный угол вдвое меньше центрального» подтверждает наш вывод. Если бы точка C не лежала на окружности, а была внутри или снаружи, угол был бы острым или тупым соответственно. Но так как она строго на окружности, угол всегда прямой. Доказательство корректно и полностью соответствует условиям задачи.