ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 273

План решения:

• Сформулировать утверждение (теорему) о равенстве прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
• Записать данные для доказательства: два треугольника с прямыми углами, равным катетом и равным острым углом, лежащим напротив этого катета.
• Доказать равенство треугольников, используя признак равенства по стороне и двум прилежащим к ней углам или через сумму углов.

Формулировка теоремы:

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два прямоугольных треугольника △ABC и △A₁B₁C₁, где ∠C=∠C₁=90^°. По условию задачи нам известно, что катеты равны: AC=A₁C₁, а также равны острые углы, лежащие напротив этих катетов: ∠B=∠B₁.

Рассмотрим суммы углов в каждом треугольнике. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180^°. Так как ∠C=90^°, то сумма двух других углов составляет 90^°: ∠A+∠B=90^°. Аналогично для второго треугольника: ∠A₁+∠B₁=90^°.

Из равенства ∠B=∠B₁ следует, что оставшиеся острые углы также равны: ∠A=90^°-∠B=90^°-∠B₁=∠A_1.

Теперь у нас есть следующие данные для сравнения треугольников △ABC и △A₁B₁C₁:

1. ∠C=∠C₁=90^° (прямые углы);
2. AC=A₁C₁ (катеты равны по условию);
3. ∠A=∠A₁ (доказано выше).

Заметим, что сторона AC лежит между углами ∠A и ∠C, а сторона A₁C₁ — между углами ∠A₁ и ∠C₁. Таким образом, мы имеем равенство стороны и двух прилежащих к ней углов. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), делаем вывод: △ABC=△A₁B₁C_1.

Проверка:

Логика доказательства опирается на фундаментальные свойства: сумму углов треугольника и третий признак равенства. Мы не использовали скрытых данных, а строго следовали условию «катет и противолежащий угол». Если бы мы пытались использовать второй признак (по катету и прилежащему острому углу), нам пришлось бы сначала доказать равенство прилежащего угла, что мы и сделали через вычитание из 90^°. Результат корректен.