ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 269: Признаки равенства прямоугольных треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Высоты AA_1 и BB_1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Найти ∠AMB, если ∠A=55°, ∠B=67°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи рассмотрим треугольник ABM, образованный вершинами A, B и точкой пересечения высот M. Нам нужно найти угол ∠AMB. Для этого сначала определим величины углов ∠MAB и ∠MBA, которые являются частями исходных углов треугольника ABC.
Так как AA1 — высота, то она перпендикулярна стороне BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABA1 (где ∠AA1B=90°). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, поэтому: ∠BAA1=90°-∠B Подставим значение ∠B=67°: ∠BAA1=90°-67°=23° Заметим, что ∠BAA1 — это тот же самый угол, что и ∠MAB в треугольнике ABM. Таким образом, ∠MAB=23°.
Аналогично найдем угол ∠MBA. Так как BB1 — высота, то она перпендикулярна стороне AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB1 (где ∠BB1A=90°). Тогда: ∠ABB1=90°-∠A Подставим значение ∠A=55°: ∠ABB1=90°-55°=35° Угол ∠ABB1 совпадает с углом ∠MBA в треугольнике ABM. Следовательно, ∠MBA=35°.
Теперь рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Мы знаем два угла: ∠MAB=23° и ∠MBA=35°. Найдем третий угол ∠AMB: ∠AMB=180°-(∠MAB+∠MBA) ∠AMB=180°-(23°+35°) ∠AMB=180°-58°=122°
Проверка результата. Угол между высотами, проведенными из вершин A и B, равен 180°-∠C или ∠C в зависимости от того, какой угол мы рассматриваем (смежный или вертикальный). Найдем угол C исходного треугольника ABC: ∠C=180°-(55°+67°)=180°-122°=58°. В четырехугольнике CA1MB1 углы при A1 и B1 прямые, значит сумма углов C и ∠A1MB1 равна 180°. ∠A1MB1=180°-58°=122°. Углы ∠AMB и ∠A1MB1 являются вертикальными, следовательно, они равны. Ответ подтвержден.
122°
Задача решается через нахождение острых углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотами со сторонами основания, а затем через сумму углов треугольника ABM. Также можно использовать свойство четырехугольника, образованного основанием и точками пересечения высот.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 269 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 269?
Краткий ответ: 122°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.