ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 283: Построение треугольника по трём элементам

План доказательства.

Чтобы доказать, что CM является высотой треугольника ABC, нам нужно показать, что прямая CM перпендикулярна основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой. Поэтому стратегия будет следующей: сначала мы докажем, что точка M является серединой основания AB (то есть CM — медиана), а затем воспользуемся свойством равнобедренного треугольника.

Ход решения.

1. Рассмотрим треугольники AMC и BMC. По условию задача говорит о равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB. Это значит, что боковые стороны равны: AC=BC.
2. Точка M лежит на основании AB. Нам дано, что точка M равноудалена от боковых сторон AC и BC. Пусть расстояния от точки M до сторон AC и BC равны h₁ и h₂ соответственно. Тогда h₁=h₂.
3. Вспомним формулу площади треугольника. Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения основания на высоту. Для треугольников AMC и BMC рассмотрим их площади по-другому. Проведём из точки M перпендикуляры к сторонам AC и BC. Эти перпендикуляры являются высотами треугольников AMC и BMC, опущенными на стороны AC и BC соответственно. S_AMC=1/2·AC·h₁ S_BMC=1/2·BC·h₂
4. Так как AC=BC (боковые стороны) и h₁=h₂ (равноудалённость точки M), то площади этих треугольников равны: S_AMC=S_BMC
5. С другой стороны, эти же треугольники AMC и BMC имеют общую высоту, проведённую из вершины C к прямой AB (обозначим её CH, где H — основание высоты). Их площади также можно записать через отрезки AM и MB: S_AMC=1/2·AM·CH S_BMC=1/2·MB·CH
6. Приравниваем выражения для площадей: 1/2·AM·CH=1/2·MB·CH Сокращаем на 1/2·CH (так как CH≠0): AM=MB
7. Из равенства AM=MB следует, что точка M является серединой отрезка AB. Значит, отрезок CM является медианой треугольника ABC, проведённой к основанию.
8. По теореме о свойствах равнобедренного треугольника: медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, CM⊥AB.

Проверка и вывод.

Мы доказали, что CM — медиана, используя равенство площадей, которое вытекает из равенства боковых сторон и равноудалённости точки M. Поскольку в равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой, утверждение верно. Таким образом, CM действительно является высотой треугольника ABC.