ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 284: Построение треугольника по трём элементам

План решения.

Для доказательства того, что концы отрезка равноудалены от прямой, проходящей через его середину, необходимо рассмотреть расстояния от концов отрезка до этой прямой. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Таким образом, задача сводится к доказательству равенства двух таких перпендикуляров. Мы можем использовать признак равенства треугольников, выделив прямоугольные треугольники, образованные этими перпендикулярами и частью исходного отрезка.

Ход вычислений и доказательство.

Пусть дан отрезок AB, а точка O является его серединой. Через точку O проведена прямая l. Опустим из точек A и B перпендикуляры на прямую l, обозначив основания этих перпендикуляров как C и D соответственно. Тогда отрезки AC и BD являются расстояниями от концов отрезка до прямой l. Нам нужно доказать, что AC=BD.

Рассмотрим треугольники ACO и BDO:

• ∠ACO=∠BDO=90^°, так как AC⊥l и BD⊥l по построению;
• AO=BO, так как O — середина отрезка AB;
• ∠AOC=∠BOD, так как это вертикальные углы при пересечении прямой AB и прямой l в точке O.

Следовательно, треугольники ACO и BDO равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BD.

Проверка результата.

Логика доказательства верна: мы использовали определение расстояния от точки до прямой, свойства вертикальных углов и признак равенства треугольников. Поскольку треугольники равны, их соответствующие катеты (перпендикуляры) также равны. Это подтверждает утверждение задачи: концы отрезка действительно равноудалены от любой прямой, проходящей через его середину.