ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 287: Построение треугольника по трём элементам
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы доказать утверждение, нам нужно показать два факта. Во-первых, что любая точка, равноудалённая от прямой a и лежащая по одну сторону от неё, находится на некоторой прямой b, параллельной a. Во-вторых, что все такие точки действительно образуют именно эту прямую b. Мы воспользуемся свойством параллельных прямых: расстояние между ними постоянно. Если мы проведём через одну из таких точек прямую, параллельную данной, то покажем, что все остальные точки с тем же расстоянием лежат на этой новой прямой.
Ход доказательства.
Пусть дана прямая a. Рассмотрим множество точек плоскости, которые расположены по одну сторону от прямой a и находятся на расстоянии h от неё (h>0). Возьмём произвольную точку M из этого множества. Проведём через точку M прямую b, параллельную прямой a (b∥a).
Так как прямые b и a параллельны, то расстояние от любой точки прямой b до прямой a одинаково и равно перпендикуляру, опущенному из точки M на прямую a. Обозначим основание этого перпендикуляра за H. Тогда MH=h.
Теперь докажем, что любая другая точка N, равноудалённая от прямой a (то есть её расстояние до a также равно h) и лежащая по ту же сторону от a, что и M, обязательно лежит на прямой b. Допустим противное: пусть точка N не лежит на прямой b. Тогда прямая MN пересекает прямую b в точке M и не совпадает с ней. Но если расстояние от N до a равно h, а расстояние от M до a тоже h, и обе точки лежат по одну сторону от a, то отрезок MN параллелен прямой a (так как концы отрезка равноудалены от прямой и лежат по одну сторону от неё). Через точку M проходит единственная прямая, параллельная a — это прямая b. Следовательно, точка N должна лежать на прямой b.
Проверка и вывод.
Мы показали, что через любую точку данного множества можно провести прямую, параллельную исходной, и что все точки множества лежат на этой единственной прямой. Таким образом, геометрическим местом всех точек, равноудалённых от прямой a и лежащих по одну сторону от неё, является прямая b, параллельная a. Утверждение доказано.
Доказательство: Пусть a — данная прямая, h — заданное расстояние. Возьмём точку M, удалённую от a на h. Проведём через M прямую b∥a. Так как расстояние между параллельными прямыми постоянно, то каждая точка прямой b удалена от a на h. Наоборот, если точка N удалена от a на h и лежит по ту же сторону, что и M, то MN∥a. По аксиоме параллельности через M проходит только одна такая прямая, значит N∈b. Все точки лежат на прямой b∥a.
В решении использована стандартная логика доказательства свойств геометрического места точек. Ключевым моментом является ссылка на единственность параллельной прямой и постоянство расстояния между параллельными прямыми.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 287 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 287?
Краткий ответ: Доказательство: Пусть a — данная прямая, h — заданное расстояние. Возьмём точку M, удалённую от a на h. Проведём через M прямую b a. Так как расстояние между параллельными прямыми постоянно, то каждая точка прямой b удалена от a на h. Наоборот, если точка N удалена от a на h и лежит по ту же сторону, что и M, то MN a. По аксиоме параллельности через M проходит только одна такая прямая, значит N b. Все точки лежат на прямой b a.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.