ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 289: Построение треугольника по трём элементам

План решения.

Чтобы найти множество точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, нужно рассмотреть свойства расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если точка находится на равном расстоянии от двух параллельных прямых, то она должна лежать строго посередине между ними. Мы построим вспомогательную прямую, которая будет параллельна данным и проходить через середину отрезка перпендикуляра, соединяющего эти две прямые.

Вычисление и обоснование.

Пусть даны две параллельные прямые a и b. Проведём произвольный перпендикуляр к этим прямым, который пересекает их в точках A и B соответственно. Пусть M — середина отрезка AB. Через точку M проведём прямую c, параллельную прямым a и b.

Рассмотрим любую точку P, лежащую на прямой c. Так как прямая c параллельна a и b и проходит через середину перпендикуляра AB, то расстояние от любой точки прямой c до прямой a равно длине отрезка AM, а расстояние до прямой b равно длине отрезка MB. Поскольку M — середина AB, то AM=MB. Следовательно, любая точка прямой c равноудалена от прямых a и b.

Теперь докажем обратное: если точка Q равноудалена от прямых a и b, то она лежит на прямой c. Пусть расстояния от точки Q до прямых a и b равны d. Тогда точка Q находится на расстоянии d от каждой из параллельных прямых. Геометрическое место точек, находящихся на фиксированном расстоянии от данной прямой, состоит из двух прямых, параллельных данной. Для прямой a такими линиями являются сама прямая a (расстояние 0) и две прямые по обе стороны от неё. Но нам нужно равенство расстояний до a и b. Единственная прямая, удовлетворяющая этому условию для всех своих точек, — это средняя линия между a и b, то есть прямая c.

Проверка и вывод.

Возьмём конкретный пример. Пусть расстояние между параллельными прямыми a и b равно h. Тогда расстояние от средней линии c до каждой из данных прямых равно h/2. Любая точка на c имеет координату (в системе с осью, перпендикулярной прямым), равную h/2 относительно одной прямой и h/2 относительно другой. Это подтверждает равенство расстояний. Точки вне прямой c будут иметь разные расстояния до a и b (например, смещение вверх увеличит расстояние до b и уменьшит до a).

Таким образом, искомое множество точек представляет собой прямую линию, которая параллельна данным двум прямым и расположена ровно посередине между ними.