7–9 классы Построение треугольника по трём элементам § 38. Построение треугольника по трём элементам

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 290: Построение треугольника по трём элементам

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Артём Савельев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 289 291 →

Условие

Прямые a и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где X ∈ a, Y ∈ b, лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудалённой от этих прямых.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План доказательства.

Чтобы доказать утверждение, введём систему координат или воспользуемся векторным методом. Пусть прямые a и b параллельны оси абсцисс. Обозначим расстояние между прямыми как h. Нам нужно показать, что геометрическое место точек (середины отрезков) является прямой, которая находится на расстоянии h/2 от каждой из данных прямых и параллельна им.

Вычисление и обоснование.

Пусть уравнение прямой a имеет вид y=y₁, а уравнение прямой b — y=y₂. Так как прямые параллельны, их угловые коэффициенты равны (в данном случае равны нулю, если выбрать ось Ox вдоль этих прямых).

Возьмём произвольную точку X на прямой a. Её координаты можно записать как (x_X,y₁). Возьмём произвольную точку Y на прямой b. Её координаты будут (x_Y,y₂).

Найдём координаты середины M отрезка XY. По формуле координат середины отрезка:

x_M=x_X+x_Y/2 y_M=y₁+y₂/2

Заметим, что значение y_M не зависит от выбора конкретных точек X и Y (то есть не зависит от x_X и x_Y). Оно постоянно для всех пар точек, лежащих на данных прямых. Это означает, что все середины лежат на прямой с уравнением y=y₁+y₂/2.

Так как это уравнение вида y=const, данная прямая параллельна осям координат, а значит, и прямым a (y=y₁) и b (y=y₂).

Расстояние от искомой прямой до прямой a равно модулю разности ординат: |y₁+y₂/2-y₁|=|y₂-y₁/2|=|y₂-y₁|/2. Расстояние от искомой прямой до прямой b равно: |y₁+y₂/2-y₂|=|y₁-y₂/2|=|y₁-y₂|/2.Поскольку |y_2 - y_1| — это расстояние между параллельными прямыми a и b, то расстояния от середины до каждой прямой равны половине этого расстояния. Следовательно, прямая равноудалена от a и b. Проверка. Если рассмотреть трапецию XX′YY′, где X,X′ на прямой a, а Y,Y′ на прямой b, то средняя линия этой трапеции соединяет середины боковых сторон. Однако здесь мы рассматриваем середины диагоналей или произвольных секущих? Нет, задача говорит про любые отрезки XY. Векторный подход подтверждает результат: OM=OX+OY/2. Проекция вектора OM на нормаль к прямым равна среднему арифметическому проекций OX и OY. Поскольку проекции всех точек прямой a равны константе d_a, а всех точек прямой b — константе d_b, то проекция любой середины равна (d_a+d_b)/2. Это доказывает, что locus (геометрическое место точек) является прямой, параллельной данным и находящейся посередине между ними.

Ответ

а) Доказано, что ордината середины любого отрезка XY постоянна и равна среднему арифметическому ординат прямых a и b.

б) Прямая, проходящая через эти середины, параллельна прямым a и b.

в) Расстояние от этой прямой до a и до b одинаково и равно половине расстояния между a и b.

Использован метод координат для строгого доказательства. Указание на задачу 289 (которая обычно касается свойств средней линии трапеции или векторов) реализовано через анализ координат середины отрезка.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 290 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 290?

Краткий ответ: а) Доказано, что ордината середины любого отрезка XY постоянна и равна среднему арифметическому ординат прямых a и b. б) Прямая, проходящая через эти середины, параллельна прямым a и b. в) Расстояние от этой прямой до a и до b одинаково и равно половине расстояния между a и b.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.