ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 294: Задачи на построение

Для решения задачи на построение треугольника по заданным элементам (стороне a, прилежащему углу β и биссектрисе l_β) необходимо использовать метод подобия или вспомогательных построений. Мы будем строить треугольник последовательно, опираясь на свойства биссектрисы.

План решения:

1. Построим угол β, равный данному.
2. На одной из сторон угла отложим отрезок, равный данной стороне a. Пусть это будет сторона AB=a.
3. Проведём биссектрису угла β. На ней нужно найти точку L, такую что BL=l_β.
4. Однако прямое откладывание биссектрисы сложно, так как её конец лежит внутри треугольника. Используем свойство: если продолжить биссектрису до пересечения с описанной окружностью или использовать симметрию, можно упростить задачу. Более простой школьный способ — через вспомогательный треугольник.

Альтернативный, более надежный алгоритм построения:

1. Построим произвольный угол β′, равный данному углу β.
2. В этом угле проведём биссектрису b′. Отложим на ней отрезок BL′=l_β (данная длина биссектрисы).
3. Через точку L′ проведём прямую, перпендикулярную биссектрисе b′. Эта прямая будет являться осью симметрии для сторон угла относительно биссектрисы? Нет, это неверно. Биссектриса не является перпендикуляром к основанию в общем случае.

Давайте вернемся к классическому методу «подобного треугольника» .

1. Построим угол β.
2. Проведем его биссектрису.
3. Отложим на биссектрисе отрезок BL₀=l_β.
4. Теперь нам нужно построить сторону BC и BA так, чтобы одна из них была равна a. Допустим, мы хотим построить сторону c=AB=a. Тогда точка A должна лежать на одной из сторон угла β на расстоянии a от вершины B. Построим точку A: проводим дугу радиуса a с центром в B, она пересекает одну из сторон угла в точке A.
5. Теперь у нас есть вершина B, точка A и направление второй стороны угла (луч BD). Нам нужно найти точку C на луче BD так, чтобы биссектриса угла B проходила через точку L₀ и заканчивалась на стороне AC? Нет, условие говорит: «биссектриса треугольника, проведённая из вершины этого угла». Это значит, что отрезок биссектрисы BL равен l_β, где L лежит на стороне AC.
6. Итак, дано: угол B, сторона AB=a, длина биссектрисы BL=l_β, где L∉AC пока неизвестна, но L лежит на биссектрисе угла B и BL=l_β. Точка L также должна лежать на стороне AC.
7. Значит, задача сводится к следующему: найти положение точки C на второй стороне угла, чтобы прямая AC проходила через фиксированную точку L (конец биссектрисы).
8. Построение:
   1. Строим угол β с вершиной B.
   2. На одной из сторон откладываем BA=a.
   3. Проводим биссектрису угла β.
   4. На биссектрисе откладываем BL=l_β.
   5. Соединяем точку A с точкой L прямой линией.
   6. Продлеваем эту линию до пересечения со второй стороной угла β. Точка пересечения будет называться C.
   7. Треугольник ABC — искомый.

Проверка:
По построению угол B равен данному. Сторона AB равна данной стороне a. Отрезок BL лежит на биссектрисе угла B и равен данной длине l_β. Так как точка L лежит на стороне AC (по построению, A,L,C коллинеарны), то BL действительно является биссектрисой треугольника ABC, проведенной из вершины B.