ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 393: Практические задания. Задачи
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то он равнобедренный, а его осью симметрии служит серединный перпендикуляр к основанию.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы доказать утверждение, воспользуемся определением оси симметрии. Ось симметрии фигуры — это прямая, относительно которой фигура переходит сама в себя при отражении (симметрии). Нам нужно показать две вещи: во-первых, что треугольник с осью симметрии обязательно равнобедренный, и во-вторых, что эта ось совпадает с серединным перпендикуляром к одной из его сторон (основанию).
Ход рассуждений.
Пусть дан треугольник ABC и пусть прямая l является его осью симметрии. При отражении относительно прямой l вершины треугольника должны перейти в вершины того же треугольника. Поскольку у треугольника три вершины, а отражение — это взаимно однозначное отображение, возможны два случая расположения вершин относительно оси:
- Случай 1: Одна вершина лежит на оси симметрии, а две другие симметричны друг другу относительно этой оси.
- Случай 2: Все три вершины лежат на оси симметрии. Это невозможно для невырожденного треугольника, так как тогда все точки были бы коллинеарны.
Рассмотрим Случай 1. Пусть вершина A лежит на оси l, а вершины B и C симметричны друг другу относительно l. По свойству симметрии, отрезок BC перпендикулярен оси l, и точка пересечения M отрезка BC с осью l является серединой этого отрезка (BM=MC). Следовательно, прямая l проходит через середину стороны BC и перпендикулярна ей, то есть l является серединным перпендикуляром к стороне BC.
Также по свойству симметрии расстояние от любой точки до её образа равно нулю или сохраняется. В частности, отрезок AB переходит в отрезок AC. Значит, их длины равны: AB=AC. Треугольник ABC имеет две равные стороны, следовательно, он является равнобедренным с основанием BC.
Проверка и вывод.
Мы показали, что наличие оси симметрии вынуждает одну вершину лежать на ней, а две другие быть симметричными. Это автоматически означает равенство двух боковых сторон (AB=AC), что делает треугольник равнобедренным. Также мы установили, что ось симметрии проходит через середину основания и перпендикулярна ему, то есть совпадает с серединным перпендикуляром к основанию. Утверждение доказано.
Доказательство
а) Пусть l — ось симметрии △ABC. При симметрии относительно l множество вершин {A,B,C} переходит в себя.
б) Так как l не может содержать все три вершины (иначе треугольник вырожден), одна вершина лежит на l, а две другие симметричны относительно l. Без ограничения общности пусть A∈l, а B и C симметричны относительно l.
в) Из симметрии следует, что AB=AC, значит, △ABC — равнобедренный.
г) Отрезок BC перпендикулярен l и делится ею пополам, поэтому l является серединным перпендикуляром к основанию BC.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 393 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 393?
Краткий ответ: Доказательство: 1. Пусть l — ось симметрии ABC. При симметрии относительно l множество вершин \A, B, C\ переходит в себя. 2. Так как l не может содержать все три вершины (иначе треугольник вырожден), одна вершина лежит на l, а две другие симметричны относительно l. Без ограничения общности пусть A l, а B и C симметричны относительно l. 3. Из симметрии следует, что AB = AC, значит, ABC — равнобедренный. 4. Отрезок BC перпендикулярен l и делится ею пополам, поэтому l является серединным перпендикуляром к основанию BC.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Практические задания. Задачи.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.