ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 397: Теорема Пифагора

План доказательства. Чтобы доказать, что хорда CD является диаметром, достаточно показать, что она проходит через центр окружности. Поскольку AB — диаметр, его середина O является центром окружности. Если мы докажем, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником или равнобедренной трапецией с определёнными свойствами симметрии, то диагонали будут пересекаться в центре. Более простой путь: использовать свойства параллельных хорд и равенство дуг.

Ход решения. 1. По условию, хорды BC и AD параллельны (BC∥AD). 2. В окружности между параллельными хордами заключены равные дуги. Следовательно, дуга AB (не содержащая точки C и D, но здесь нужно быть внимательным с расположением точек) и дуга CD имеют связь. Давайте рассмотрим углы. 3. Проведём отрезки AC и BD. Так как AB — диаметр, то угол ∠ACB=90^° и угол ∠ADB=90^° (вписанные углы, опирающиеся на диаметр). 4. Рассмотрим треугольники ABC и BAD. Они прямоугольные. Гипотенуза AB у них общая. 5. Так как BC∥AD, то накрест лежащие углы при секущей AB равны? Нет, секущая AB не пересекает параллельные BC и AD так, чтобы дать простые накрест лежащие углы внутри треугольников напрямую без дополнительных построений. Лучше использовать свойство дуг. 6. Параллельность хорд BC∥AD означает, что дуга AB (между ними?) нет. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. То есть дуга AC равна дуге BD? Нет, если порядок точек на окружности A,C,B,D или A,D,B,C. Обычно для выпуклого четырёхугольника ABCD с параллельными сторонами BC и AD это равнобедренная трапеция. Тогда диагонали равны, а боковые стороны равны. Но нам нужно доказать, что CD — диаметр. 7. Давайте посмотрим на углы. Пусть β=∠ABC. Так как BC∥AD, то β+∠BAD=180^° (если это трапеция). Это верно только если AB и CD — основания. Здесь BC и AD — боковые стороны? Нет, они хорды. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Если BC∥AD, то ABCD — равнобедренная трапеция, где AB и CD — основания? Или AD и BC — основания? Если AD∥BC, то дуга AB равна дуге CD. Так как AB — диаметр, то дуга AB равна 180^°. Следовательно, дуга CD также равна 180^°. Хорда, стягивающая дугу в 180^°, является диаметром.

Проверка и вывод. Действительно, теорема гласит: «В окружности равные дуги отсекаются параллельными хордами». Точнее, дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Рассмотрим расположение точек. Пусть порядок на окружности A,B,C,D. Тогда хорды BC и AD параллельны. Между ними лежат дуги AB и CD. Значит, дуга AB=дуга CD. По условию AB — диаметр, значит, длина дуги AB равна 180^° (или полуокружности). Тогда длина дуги CD также равна 180^°. Если дуга, стянутая хордой CD, составляет половину окружности, то сама хорда CD проходит через центр и является диаметром. Доказательство завершено.