ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 395: Теорема Пифагора

План решения.

Для доказательства независимости периметра треугольника AMN от положения точки X воспользуемся свойством касательных, проведённых из одной точки к окружности. Нам нужно выразить стороны треугольника AMN через длины исходных касательных AB и AC. Для доказательства постоянства угла MON разобьём этот угол на части, используя равенство соответствующих углов в прямоугольных треугольниках, образованных центром окружности и точками касания.

Вычисление и доказательство для периметра.

Рассмотрим точку M. Из неё проведены две касательные к окружности: одна проходит через точку B (так как AB — касательная), а другая — через точку X (так как MN касается окружности в точке X). Согласно теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых из одной точки, имеем:

Аналогично для точки N: из неё проведены касательные NC и NX, следовательно:

Периметр треугольника AMN равен сумме длин его сторон:

Так как точка X лежит на отрезке MN, то MN=MX+XN. Подставим это выражение в формулу периметра:

Используя найденные равенства MX=BM и XN=CN, заменим слагаемые:

Сгруппируем слагаемые так, чтобы получить целые отрезки AB и AC:

По условию задачи AB и AC — касательные, проведённые из одной точки A к окружности, поэтому они равны между собой: AB=AC. Таким образом:

Длина касательной AB фиксирована и не зависит от выбора точки X. Следовательно, периметр треугольника AMN постоянен.

Доказательство для угла MON.

Рассмотрим треугольники OBM и OXM. Они являются прямоугольными (∠OBM=∠OXM=90^°, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). В этих треугольниках: гипотенуза OM общая, а катеты BM и MX равны. Значит, треугольники равны по двум катетам (или по гипотенузе и катету):

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов при вершине O:

Обозначим эти углы через α₁. Тогда ∠BOX=2α₁.

Аналогично рассмотрим треугольники OCN и OXN. Они также равны (ON — общая гипотенуза, CN=NX). Следовательно:

Обозначим эти углы через α₂. Тогда ∠COX=2α₂.

Угол MON состоит из двух частей:

Центральный угол BOC, опирающийся на дугу BC, равен сумме углов BOX и COX:

Отсюда выразим сумму α₁+α₂:

Подставив это в выражение для угла MON, получаем:

Угол BOC является центральным углом, опирающимся на фиксированную дугу BC (точки B и C закреплены условием касательных из точки A). Величина угла BOC не меняется при движении точки X по дуге. Следовательно, величина угла MON также не зависит от выбора точки X.

Проверка.

Мы показали, что периметр P_AMN сводится к постоянной величине 2AB, а угол ∠MON составляет половину постоянного центрального угла ∠BOC. Оба результата логически следуют из свойств касательных и равенства треугольников, что подтверждает правильность доказательства.